%& --translate-file=cp1250pl
\documentclass[12pt,a4paper,twoside]{book}

\usepackage[left=1.5in,right=.65in,top=1in,bottom=1in,twoside]{geometry}

\makeatletter
\def\thickhrulefill{\leavevmode \leaders \hrule height 1pt\hfill \kern \z@}
\renewcommand{\maketitle}{\begin{titlepage}%
    \let\footnotesize\small
    \let\footnoterule\relax
    \parindent \z@
    \reset@font
    \null
    \vskip 10\p@
    \hbox{\mbox{\hspace{2em}}%
      \vrule depth 0.2\textheight%
      \mbox{\hspace{2em}}
      \vbox{
        \vskip 40\p@
        \begin{flushleft}
          \Large \@author \par
        \end{flushleft}
        \vskip 80\p@
        \begin{flushleft}
          \huge \bfseries \@title \par
        \end{flushleft}
        \vskip 200\p@
        \begin{flushleft}
          \small \bfseries \@date \par
        \end{flushleft}
        \vfil
        }}
    \null
  \end{titlepage}%
  \setcounter{footnote}{0}%
}
\makeatother

\title{R�wnania r�niczkowe}

\author{Witold Bo�t\\ \small{Krzysztof Tartas}}

\date{wersja $0.9.8$ \\ (\today) \\ \small{najnowsza wersja zawsze na: \url{http://www.houp.info/rr/}}}

\usepackage{polski}
\usepackage[OT4]{fontenc}

\usepackage{amsthm,amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{enumerate}


\usepackage[pdftex,
bookmarks=true,
bookmarksnumbered=true,
hypertexnames=false,
breaklinks=true,
unicode=false,
linkbordercolor={0 1 0}]{hyperref}

\hypersetup{
pdfauthor   = {Witold Bo�t <ja@houp.info>},
pdftitle    = {R�wnania R�niczkowe}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{fakt}[tw]{Fakt}
\newtheorem{lemat}[tw]{Lemat}

\theoremstyle{definition}

\newtheorem{definicja}[tw]{Definicja}
\newtheorem{przyklad}[tw]{Przyk�ad}

\newtheorem{uwaga}[tw]{Uwaga}
\newtheorem{wniosek}[tw]{Wniosek}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\pagestyle{headings}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{empty}

\frontmatter

\addcontentsline{toc}{chapter}{Wst�p}
\chapter*{Wst�p}

Opracowanie, kt�re w�a�nie czytasz, zosta�o oparte na notatkach z wyk�adu dra hab.
Antoniego Augustynowicza, prowadzonego w semestrze zimowym roku akademickiego 2004/2005
na Wydziale Matematyczno--Fizyczno--Informatycznym Uniwersytetu Gda�skiego, dla
student�w II roku informatyki.

Podstawowym materia�em �r�d�owym by�y notatki
sporz�dzone, a nast�pnie uzupe�nione i dokomentowane, przez Witolda Bo�ta. Du�a
ich cz�� zosta�a natomiast przepisana przez Krzysztofa Tartasa.

Autorzy do�o�yli wszelkich stara� aby informacje tu zawarte by�y poprawne merytorycznie
oraz podane w spos�b zrozumia�y. Nie gwarantujemy jednak w �adnym sensie poprawno�ci
ani bezb��dno�ci zebranych tu materia��w. Tym bardziej za jakie kolwiek b��dy w tym
tek�cie nie nale�y wini� naszego Wyk�adowc�.

Autorzy nie mieli r�wnie� na celu ogranicza�, pozbawia� ani narusza� �adnych praw
autorskich wyk�adowcy, ani nikogo innego. W przypadku je�li ktokolwiek uzna,
i� opracowanie to narusza jakiekolwiek z jego praw, prosimy o kontakt.

Aktualn� wersj� tego skryptu mo�na znale�� w internecie:
\href{http://www.houp.info/rr/}{http://www.houp.info/rr/}. Kontakt z autorami
mo�liwy jest przez e--mail: Witold Bo�t $\langle$\href{mailto:ja@houp.info}{ja@houp.info}$\rangle$,
Krzysztof Tartas $\langle$\href{mailto:ktartas@gmail.com}{ktartas@gmail.com}$\rangle$

W internecie mo�na r�wnie� znale�� inne opracowania napisane przez nas, z przedmiot�w
takich jak Analiza Matematyczna, Algebra Liniowa oraz Logika Matematyczna. Wi�cej
informacji na stronie: \href{http://www.houp.info/}{http://www.houp.info/}.

\chapter*{Podzi�kowania...}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Podzi�kowania}

Dzi�kuj� serdecznie wszystkim kt�rzy w jakikolwiek spos�b przyczynili si� do
pog��bienia naszej wiedzy o r�wnaniach r�niczkowych, oraz tym wszystkim
kt�rzy bezpo�rednio pomagali przy tworzeniu tego skryptu. Dzi�kuj� za wszelkie
sugestie, poprawki, dobre s�owa, podzi�kowania i niespodzianki;).

W spos�b szczeg�lny dzi�kuj� naszemu Wyk�adowcy dr hab. A. Augustynowiczowi, kt�ry
zgodzi� si� przeczyta� i poprawi� to opracowanie, co kosztowa�o go z pewno�ci�
sporo pracy i czasu.

Skrypt ten dedykujemy wszystkim tym, kt�rzy b�d� si� z niego uczy�, �ycz�c jednocze�nie
jak najlepszych rezultat�w na wszelkich egzaminach.

W spos�b szczeg�lny moj� prac� i trud chcia�bym dedykowa� {\it Dorotce}, dzi�kuj�c
jednocze�nie za wsparcie, pomoc, obecno�� i wyrozumia�o��.

\vspace{2.5cm}

\begin{flushright}
{\it Witold Bo�t}
\end{flushright}

\newpage

\addcontentsline{toc}{chapter}{Spis tre�ci}
\tableofcontents

\mainmatter

\chapter{R�wnanie liniowe pierwszego rz�du}

Dla kr�tko�ci wprowadzimy nast�puj�ce oznaczania:
\begin{itemize}
\item R�wnanie liniowe jednorodne $(RJ)\colon$ $x^{\prime}(t)=a(t)x(t).$
\item R�wnanie liniowe niejednorodne $(RN)\colon$ $x^{\prime}(t)=a(t)x(t)+b(t).$
\item Warunek pocz�tkowy $(WP)\colon$ $x(t_{0})=x_{0}.$
\end{itemize}

\section{R�wnanie liniowe jednorodne}

\begin{tw}[istnienie i jednoznaczno�� rozwi�zania $(RJ),(WP)$]
Je�eli funkcja $a\colon (\alpha ,\beta)\to \mathbb{R}$ jest ci�g�a,
$t_0 \in (\alpha, \beta)$, $x_0 \in \mathbb{R} $, wtedy zagadnienie
$(RJ),(WP)$ posiada dok�adnie jedno rozwi�zanie.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Podajemy wz�r funkcji kt�ra ma szans� by� jedynym rozwi�zaniem $(RJ),(WP)$.
\item Pokazujemy, �e funkcja dana wzorem z punktu 1 na pewno jest rozwi�zaniem.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Niech funkcja $z\colon (\alpha, \beta)\to \mathbb{R}$ jest rozwi�zaniem $(RJ)$.
Wtedy oczywi�cie spe�nia:
$$z^{\prime}(t)-a(t)z(t)=0.$$
Pomn�my powy�sz� r�wno�� obustronnie przez $e^{-\int_{t_0}^{t} a(s)ds}$. Mamy:
$$z^{\prime}(t)e^{-\int_{t_0}^{t} a(s)ds} -a(t)z(t)e^{-\int_{t_0}^{t} a(s)ds}=0.$$
Lewa strona jest pochodn� iloczynu, st�d:
$$\frac{d}{dt}\left(z(t)e^{-\int_{t_0}^{t} a(s)ds}\right)=0.$$
Ca�kujemy obustronnie w granicach od $t_0$ do $t$ i otrzymujemy:
$$z(t)e^{-\int_{t_0}^{t} a(s)ds}=z(t_0).$$
Czyli:
$$z(t)=x_{0}e^{\int_{t_0}^{t}a(s)ds}.$$

Wiemy teraz, �e je�li jaka� funkcja jest rozwi�zaniem $(RJ)$ to daje si� wyrazi�
powy�szym wzorem. Poka�emy, �e je�li funkcja daje si� wyrazi� takim wzorem
to istotnie jest to rozwi�zanie. Wstawmy wi�c j� do r�wnania z warunkiem pocz�tkowym:
$$\left\{\begin{array}{l}
z^{\prime}(t)=a(t)e^{\int_{t_0}^{t} a(s)ds} x_0=a(t)z(t) \\
z(t_0)=e^0x_0=x_0\end{array}\right.\qedhere$$
\end{proof}

\begin{wniosek}
Zauwa�my, �e z danego w dowodzie wzoru wynika, �e:
\begin{itemize}
\item je�li $x_{0}=0$, to rozwi�zanie $z\equiv 0$,
\item je�li $x_{0}\neq 0$, to $\forall_{t}z(t)\neq 0$.
\end{itemize}
\end{wniosek}

\section{R�wnanie liniowe niejednorodne}

\begin{tw}[posta� rozwi�zania $(RN)$]
Funkcja $z\colon (\alpha, \beta) \to \mathbb{R}$ jest rozwi�zaniem zagadnienia
$(RN),(WP)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $z=u+\varphi$, gdzie $u$ jest rozwi�zaniem
$(RJ),(WP)$, natomiast $\varphi$ jest rozwi�zaniem r�wnania niejednorodnego
z warunkiem zerowym ($x(t_{0})=0$).
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
Implikacja ,,$\Rightarrow $'':
\begin{enumerate}
\item Z poprzedniego twierdzenia wiemy, �e $u$ jest wyznaczone jednoznacznie (znany jest wz�r).
\item Zak�adamy, �e znamy $z(t)$ kt�re jest rozwi�zaniem $(RN)$.
\item Pokazujemy, �e $\varphi$ jest wtedy rozwi�zaniem r�wnania niejednorodnego,
oraz �e spe�nia warunek pocz�tkowy zerowy: $x(t_{0})=0$.
\end{enumerate}

\noindent Implikacja ,,$\Leftarrow $'':
\begin{enumerate}
\item Zak�adamy, �e $u$ i $\varphi$ spe�niaj� tre�� twierdzenia
  (s� odpowiednimi rozwi�zaniami).
\item Pokazujemy, �e wtedy $z$ musi by� rozwi�zaniem $(RN)$.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}] Implikacja ,,$\Rightarrow$'': Z poprzedniego twierdzenia wiadomo, �e istnieje $u$ i
�e jest wyznaczone jednoznacznie. Za��my, �e znana jest funkcja $z$, kt�ra
spe�nia $(RN)$. Rozwa�my wi�c funkcj�: $\varphi(t)=z(t)-u(t)$. Oczywi�cie
pochodna $\varphi$ wyra�a si� wzorem: $\varphi^{\prime}(t)=z^{\prime}(t)-u^{\prime}(t)$.
Rozpisuj�c ten wz�r (korzystamy, z tego, �e $u$ spe�nia r�wnanie jednorodne, a $z$
r�wnanie niejednorodne), mamy:
$$z^{\prime}(t)-u^{\prime}(t)=a(t)z(t)+b(t)-a(t)u(t)=a(t)[z(t)-u(t)]+b(t)=a(t)\varphi(t)+b(t)$$
Otrzymali�my wi�c r�wno��:
$$\varphi^{\prime}(t)=a(t)\varphi(t)+b(t)$$
co �wiadczy o tym, �e rzeczywi�cie $\varphi$ spe�nia r�wnanie niejednorodne. Sprawd�my
jeszcze warunek pocz�tkowy:

$$\varphi(t_{0})=z(t_{0})-u(t_{0})=x_{0}-x_{0}=0$$
Czyli $\varphi $ spe�nia jednorodny (zerowy) warunek pocz�tkowy.

Pokazali�my wi�c, �e dowolne rozwi�zanie $z$ r�wnania niejednorodnego daje si�
zapisa� jako: $u+\varphi$ (bo dobrali�my odpowiednie $\varphi$ dla dowolnego $z$).
W ten spos�b zako�czyli�my pierwsz� cz�� dowodu.\\*

\noindent Implikacja ,,$\Leftarrow$'': Niech $u$ i $\varphi$ spe�niaj� za�o�enia twierdzenia.
Niech $z=u+\varphi$. Takie $z$ spe�nia r�wnanie $(RN)$ z odpowiednim warunkiem pocz�tkowym, bo:
$$z^{\prime}(t)=u^{\prime}(t)+\varphi ^{\prime}(t)=a(t)u(t)+a(t)\varphi (t)+b(t)=$$
$$=a(t)[u(t)+\varphi(t)]+b(t)=a(t)z(t)+b(t),$$
oraz:
$$z(t_0)=u(t_0)+\varphi (t_0)=x_0.$$

Pokazali�my wi�c, �e je�li znamy rozwi�zanie r�wnania jednorodnego (z warunkiem $(WP)$)
oraz dowolne
rozwi�zanie r�wnania niejednorodnego z warunkiem zerowym (jednorodnym) to
jeste�my w stanie zbudowa� rozwi�zanie $(RN)$, $(WP)$.
\end{proof}

\begin{tw}[istnienie i jednoznaczno�� rozwi�zania $(RN),(WP)$]
Je�eli funkcje $a,b\colon (\alpha, \beta)\to \mathbb{R}$ s� ci�g�e,
$t_0\in (\alpha,\beta)$, $x_0\in\mathbb{R}$, to zagadnienie
$(RN),(WP)$ posiada dok�adnie jedno rozwi�zanie.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Zak�adamy, �e funkcja $z$ jest rozwi�zaniem.
\item Wstawiamy do r�wnania i podajemy wz�r na $z$.
\item Pokazujemy, �e je�li funkcja jest dana wzorem z $2.$, to na pewno
jest rozwi�zaniem -- czyli rozwi�zanie zawsze istnieje i jest jedyne.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Za��my, �e $z$ jest rozwi�zaniem $(RN)$, czyli spe�nia:
$$z^{\prime}(t)-a(t)z(t)=b(t).$$
Pomno�ymy t� r�wno�� obustronnie przez $e^{-\int _{t_0}^{t} a(s)ds}$. Mamy wtedy:
$$z^{\prime}(t)e^{-\int _{t_0}^{t} a(s)ds}-a(t)z(t)e^{\int _{t_0}^{t}a(s)ds}=b(t)e^{\int _{t_0}^{t} a(s)ds},$$
gdzie lewa strona jest pochodn� iloczynu, czyli:
$$\frac{d}{dt} \left(z(t)e^{-\int _{t_0}^{t} a(s)ds}\right)=b(t)e^{-\int _{t_0}^{t}a(s)ds}.$$
Ca�kujemy obustronnie w granicach od $t_0$ do $t$:
$$z(t)e^{-\int _{t_0}^{t} a(s)ds}-z(t_0)=\int _{t_0}^{t}b(k)e^{-\int _{t_0}^{k}a(s)ds}dk.$$
St�d mamy wz�r:
$$(**)\quad z(t)=x_0e^{\int _{t_0}^{t} a(s)ds}+e^{\int_{t_0}^{t}a(s)ds}\int_{t_0}^{t}b(k)e^{\int _{k}^{t_0} a(s)ds}dk.$$
Co mo�na zapisa� pro�ciej:
$$(*)\quad z(t)=x_0e^{\int _{t_0}^{t} a(s)ds}+\int _{t_0}^{t}b(k)e^{\int_{k}^{t} a(s)ds}dk.$$

Oczywi�cie taka funkcja $z$ spe�nia warunek pocz�tkowy: $z(t_0)=x_0$.
Wiemy, wi�c, �e je�li jaka� funkcja jest rozwi�zaniem, to musi da� sie
wyrazi� przez wz�r $(*)$. Sprawd�my wi�c, czy rzeczywi�cie jest to zawsze
rozwi�zanie. Skorzystamy z postaci $(**)$ aby policzy� pochodn� $z$:
$$z^{\prime}(t) = x_0a(t)e^{\int _{t_0}^{t}a(s)ds} + a(t)e^{\int _{t_0}^{t}a(s)ds}
\int_{t_0}^{t}b(k)e^{\int _{k}^{t_0}a(s)ds}dk + $$
$$ + e^{\int _{t_0}^{t}a(s)ds}b(t)e^{\int_{t}^{t_0}a(s)ds} =$$
$$= a(t)\left[x_0e^{\int_{t_0}^{t}a(s)ds} + e^{\int_{t_0}^{t}a(s)ds}\int_{t_0}^{t}b(k)e^{\int_{k}^{t_0}a(s)ds}dk\right]+b(t) =$$
$$= a(t)z(t)+b(t).$$
\end{proof}


\begin{tw}[posta� og�lnego rozwi�zania $(RN)$]
Je�eli $u$ jest rozwi�zaniem niezerowym r�wnania liniowego jednorodnego,
$\varphi$ jest rozwi�zaniem r�wnania liniowego niejednorodnego, to
nast�puj�ce warunki s� r�wnowa�ne:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $v$ jest rozwi�zaniem r�wnania,
\item istnieje $c\in \mathbb{R}$ takie, �e $v=cu+\varphi$.
\end{enumerate}
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
Implikacja ,,$(a)\Leftarrow (b)$'':
Znamy $u$ i $\varphi$. Definiujemy $v=cu+\varphi$ i pokazujemy, �e na pewno jest to
rozwi�zanie $(RN)$. \\*

\noindent Implikacja: ,,$(a)\Rightarrow (b)$'':
\begin{enumerate}
\item Zak�adamy, �e $u$ i $\varphi$ s� dane. Pokazujemy, �e da si� znale��
odpowiedni� sta�� $c$, tak� �e $v-\varphi=cu$.
\item Korzystaj�c z tego �e $\forall _{t} u(t)\neq 0$ badamy iloraz
$\frac{v-\varphi}{u}$ i pokazujemy �e jest on sta�y, czyli: $\left(\frac{v-\varphi}{u}\right)^{\prime}=0$.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
,,$(a)\Leftarrow (b)$'': Niech $v=cu+\varphi$. Wtedy, oczywi�cie:
$$v^{\prime}(t)=cu^{\prime}(t)+\varphi(t)=ca(t)u(t)+a(t)\varphi(t)+b(t)=$$
$$=a(t)(cu(t)+\varphi(t)))+b(t)=a(t)v(t)+b(t).$$
co ko�czy dow�d tej implikacji. \\*

\noindent ,,$(a)\Rightarrow (b)$'': Poka�emy, �e dla dowolnego rozwi�zania r�wnania niejednorodnego
$v$ da si� dobra� odpowiedni� sta�� $c$ tak aby zachodzi�o $v-\varphi=cu$.

\newpage
Zauwa�my, �e $v-\varphi$ jest rozwi�zaniem r�wnania liniowego
jednorodnego, bo:
$$(v(t)-\varphi(t))^{\prime}=v^{\prime}(t)-\varphi^{\prime}(t)=a(t)v(t)+b(t)-a(t)\varphi(t)-b(t)=$$
$$=a(t)(v(t)-\varphi(t)).$$
Wprowad�my oznaczenie $p(t)=v(t)-\varphi(t)$.

Zauwa�my, �e z jednoznaczno�ci rozwi�zania r�wnania jednorodnego wynika,
�e je�li $\exists_{t}u(t)=0$, to $\forall_{t}u(t)=0$. W tre�ci twierdzenia zak�adamy
jednak, �e $u$ jest rozwi�zaniem niezerowym (czyli $u\not\equiv 0$). Wiemy wi�c, �e $u$
nie zeruje si� nigdzie. Aby sprawdzi� czy $v-\varphi=cu$ wystarczy wi�c pokaza�,
�e: $\frac{p(t)}{u(t)}=const$, czyli
$\left(\frac{p(t)}{u(t)}\right)^{\prime}=0$. Rozpisuj�c lew� stron� mamy:
$$\left( \frac{p(t)}{u(t)}\right)^{\prime}=\frac{p^{\prime}(t)u(t)-p(t)u^{\prime}(t)}{u^2(t)}=0$$
czyli rzeczywi�cie $v-\varphi=cu$, a to oznacza, �e dla dowolnego rozwi�zania
$v$ mo�emy dobra� odpowiedni� sta�� $c$. \end{proof}

Udowodnimy teraz twierdzenie, kt�re umo�liwia stosowanie ,,metody uzmienniania
sta�ej'' dla r�wna� liniowych niejednorodnych rz�du pierwszego.

\begin{tw}
Je�eli $u$ jest rozwi�zaniem r�wnania jednorodnego (niezerowym), to
istnieje funkcja $\psi$ taka, �e $\varphi(t)=\psi(t)u(t)$ jest
rozwi�zaniem r�wnania niejednorodnego.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Korzystamy z za�o�enia �e $u$ jest rozwi�zaniem.
\item Wyznaczamy wz�r na $\psi(t)$.
\item Pokazujemy, �e rzeczywi�cie $\varphi(t)=\psi(t)u(t)$ jest rozwi�zaniem $(RN)$.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Chcemy pokaza�, �e je�li $\varphi(t)=\psi(t)u(t)$, to $\varphi^{\prime}(t)=a(t)\varphi(t)+b(t)$, dla
pewnej funkcji $\psi$.
Policzmy pochodn� $\varphi$:
$$\varphi^{\prime}(t)=\psi^{\prime}(t)u(t)+\psi(t)u^{\prime}(t)=\psi^{\prime}(t)u(t)+\psi(t)u(t)a(t)$$
Skoro $\varphi$ ma spe�nia� r�wnanie niejednorodne, to musi zachodzi�:
$$\varphi'(t)=\psi^{\prime}(t)u(t)+\psi(t)u(t)a(t)=a(t)\underbrace{\psi(t)u(t)}_{\varphi(t)}+b(t).$$
Czyli:
$$\psi^{\prime}(t)u(t)=b(t).$$
Wiemy, �e $u$ jest niezerowym rozwi�zaniem, a skoro tak, to na pewno zachodzi\footnote{Patrz wniosek z tw. o istnieniu rozwi�zania $(RJ)$.}
$\forall_{t}u(t)\neq0$, wi�c mo�emy podzieli�:
$$\psi^{\prime}(t)=\frac{b(t)}{u(t)}.$$
St�d mamy wz�r na $\psi$:
$$\psi(t)=\int\frac{b(t)}{u(t)}dt.$$
Nasza funkcja $\varphi$ ma wi�c posta�: $\varphi(t)=u(t)\int\frac{b(t)}{u(t)}dt$.
Wstawimy j� do r�wnania i poka�emy, �e rzeczywi�cie je spe�nia:
$$\varphi^{\prime}(t)=u^{\prime}(t)\int\frac{b(t)}{u(t)}dt+u(t)\frac{b(t)}{u(t)}=a(t)u(t)\int\frac{b(t)}{u(t)}dt+b(t)=a(t)\varphi(t)+b(t)$$
\end{proof}

\chapter{R�wnanie o zmiennych rozdzielonych}

Podobnie jak poprzednio, dla kr�tko�ci zapis�w, stosowa� b�dziemy nast�puj�ce oznaczenia:
\begin{itemize}
\item r�wnanie o zmiennych rozdzielonych $(RZ)\colon x^{\prime}(t)=g(t)h(x(t))$,
\item warunek pocz�tkowy $(WP)\colon x(t_{0})=x_{0}$.
\end{itemize}

\section{Istnienie i jednoznaczno�� rozwi�zania}

Podamy warunki jakie musi spe�nia� zagadnienie, aby mia�o dok�adnie jedno rozwi�zanie.
Poni�sze dwa twierdzenia odnosz� si� do specjalnych przypadk�w r�wna� o zmiennych rozdzielonych,
w kt�rych wyst�puj�ca po prawej stronie funkcja $h$ nie zeruje si�, lub zeruje si� tylko w jednym miejscu (i
to w dodatku dok�adnie w miejscu $x_{0}$).
Drugie twierdzenie daje si� uog�lni� dla przypadk�w, gdy $h$ zeruje si� w sko�czonej (przeliczalnej) liczbie punkt�w,
jednak uog�lnienie to wykracza poza zakres tego opracowania (i wyk�adu).

\begin{tw}[istnienie i jednoznaczono�� rozwi�zania $(RZ),(WP)$ dla $h$ niezeruj�cego si�]
Niech $g\colon (\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$, $h\colon (\gamma,\delta)\to\mathbb{R}$.
Je�eli funkcje $g$ i $h$ s� ci�g�e oraz funkcja $h$ nie zeruje si� dla dowolnego
$t\in(\gamma,\delta)$, to zagadnienie $(RZ),(WP)$ posiada dok�adnie jedno
rozwi�zanie.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Zak�adamy, �e $z$ jest rozwi�zaniem.
\item Podajemy wz�r uwik�any na $z$.
%% FIXME: niejasne
\item Zak�adamy, �e $h(z(t))>0$ i podajemy rozwik�any wz�r w tym
  przypadku. (Dla $h(z(t))<0$ analogicznie.)
%%%%%%%%%
\item Sprawdzamy czy funkcja dana takim wzorem spe�nia r�wnanie.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Niech $z\colon (a,b)\to \mathbb{R}$ jest rozwi�zaniem. Niech
$(a,b)\subset(\alpha,\beta)$, oraz $t_0\in(a,b)$.
(Uwaga: Rozwi�zanie b�dzie okre�lone w pewnym otoczeniu $t_0$.)

\noindent Skoro $z$ jest rozwi�zaniem, to oczywi�cie:
$$z^{\prime}(t)=g(t)h(z(t)).$$
Podzielmy t� r�wno�� obustronnie przez $h(z(t))$:
$$\frac{z^{\prime}(t)}{h(z(t))}=g(t),$$
a nast�pnie sca�kujmy obustronnie w granicach od $t_{0}$ do $t$:
$$\int _{t_0}^{t} \frac{z^{\prime}(s)}{h(z(s))}ds =\int _{t_0}^{t} g(s)ds.$$
W ca�ce po lewej stronie wykonujemy podstawienie $z(s)=u$:
$$\int _{z(t_0)}^{z(t)} \frac{du}{h(u)} =\int _{t_0}^{t} g(s)ds,$$
co daje nam uwik�any wz�r na $z(t)$. Wprowad�my teraz nast�puj�ce oznaczenia:
$$z(t)=y,$$
$$H(y)=\int _{x_0}^{y} \frac{du}{h(u)},$$
$$G(t)=\int _{t_0}^{t} g(s)ds.$$
Przy takich oznaczeniach nasze r�wnanie (wyznaczaj�ce $z$) ma posta�:
$$H(y)=G(t).$$
Oczywi�cie zachodzi: $H'(y)=\frac{1}{h(y)}$.
Za��my, �e $h(u)>0$ dla $u\in \left(\gamma,\delta\right)$. (W przypadku
gdy $h(u)<0$ dow�d przebiega analogicznie.) Wtedy:
$$H^{\prime}(y)>0.$$
Wiemy wi�c, �e $H$ jest �ci�le rosn�ca wi�c istnieje $H^{-1}$, czyli:
$$z(t)=y=H^{-1}(G(t)).$$
Gdzie:
$$H\colon(\gamma,\delta)\to\left(\int _{x_0}^{\gamma}\frac{du}{h(u)},\int _{x_0}^{\delta}\frac{du}{h(u)}\right)$$
$$H^{-1}\colon \left(\int _{x_0}^{\gamma}\frac{du}{h(u)},\int _{x_0}^{\delta}\frac{du}{h(u)}\right)\to(\gamma,\delta)$$
Czyli $z(t)$ jest okre�lona w pewnym otoczeniu punktu $t_0$. Otoczenie to mo�e by� wyznaczone
z nier�wno�ci:
$$\int _{x_0}^{\gamma}\frac{du}{h(u)}<G(t)<\int
_{x_0}^{\delta}\frac{du}{h(u)}$$
\noindent Wystarczy pokaza�, �e tak wyznaczone $z(t)$ jest rzeczywi�cie rozwi�zaniem zagadnienia:
$$z(t_0)=H^{-1}(G(t_0))=H^{-1}(0)=x_0$$
Aby policzy� pochodn� korzystamy z uwik�anego wzoru:
$$H(z(t))=G(t).$$
R�niczkujemy obustronnie i dostajemy:
$$H^{\prime}(z(t))z^{\prime}(t)=G^{\prime}(t).$$
Czyli, korzystaj�c z definicji $H$ i $G$, mamy:
$$\frac{z^{\prime}(t)}{h(z(t))}=g(t),$$
$$z^{\prime}(t)=g(t)h(z(t)).$$
Ostatnia r�wno�� �wiadczy o tym, �e $z$ rzeczywi�cie spe�nia r�wnanie.
\end{proof}

%--
\begin{tw}[Istnienie i jednoznaczno�� rozwi�zania $(RZ),(WP)$, dla $h$ zeruj�cego si� w jednym punkcie]
Niech $g\colon(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$, $h\colon(\gamma,\delta)\to\mathbb{R}$ s�
funkcjami ci�g�ymi, $g\not \equiv 0$, $h(\eta)=0$, $h(x)\neq 0$ dla $x\neq
\eta$. Wtedy ka�de zagadnienie $x^{\prime}(t)=g(t)h(x(t))$, $x(t_0)=\eta $,
($t_0\in(\alpha,\beta)$) posiada dok�adnie jedno rozwi�zanie wtedy i tylko
wtedy, gdy ca�ki: $\int _{\eta}^{\eta+\epsilon}\frac{du}{h(u)}$, $\int
_{\eta}^{\eta-\epsilon}\frac{du}{h(u)}$ s� rozbie�ne dla pewnego %% FIXME: nie wiadomo czy dow�d jest dobry!
$\epsilon>0$.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Zauwa�amy, �e funkcja $z\equiv \eta$ spe�nia r�wnanie z warunkiem $x(t_0)=\eta$. Czyli zawsze
istnieje przynajmniej jedno rozwi�zanie.
\item Poka�emy, �e istnieje inne rozwi�zanie wtedy i tylko wtedy gdy
ca�ka $\int _{\eta}^{\eta+\epsilon}\frac{du}{h(u)}$, lub ca�ka
$\int_{\eta}^{\eta-\epsilon}\frac{du}{h(u)}$ jest zbie�na dla pewnego $\epsilon>0$.
\item Dow�d implikacji ,,$\Rightarrow$'':
\begin{enumerate}[a)]
  \item Zak�adamy, �e istnieje rozwi�zanie $\varphi$ takie, �e $\varphi$ nie jest stale r�wne $\eta$.
%% FIXME: nie jasne
  \item Rozpatrujemy r�wnanie na mniejszym przedziale, takim, �e w
  jego wn�trzu i na jednym kra�cu $\varphi\not\not\equiv\eta$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \item Dochodzimy do tego, �e jedna z ca�ek wyst�puj�cych w
  twierdzeniu musi by� zbie�na, co �wiadczy o tym, �e za�o�enie o istnieniu
  rozwi�zania $\varphi\neq \eta$ by�o niepoprawne.
\end{enumerate}

\item Dow�d implikacji ,,$\Leftarrow$'':
\begin{enumerate}[a)]
  \item Zak�adamy zbie�no�� jednej z ca�ek.
  \item Korzystaj�c z tego wyznaczamy uwik�any wz�r na rozwi�zanie
  $\varphi$ kt�re nie jest sta�e - czyli za�o�enie o zbie�no�ci jednej z ca�ek
  prowadzi do sprzeczno�ci (tzn. istnieje wi�cej ni� jedno rozwi�zanie).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
\begin{enumerate}
\item Zauwa�my, �e funkcja $\varphi\equiv \eta$ jest rozwi�zaniem
  rozwa�anego zagadnienia.
\item W dalszych rozwa�aniach b�dziemy zak�ada�, �e istnieje
  jeszcze inne rozwi�zanie i z tego wynika� b�dzie, �e przynajmniej jedna
  z ca�ek jest zbie�na. W drug� stron�, za�o�enie, �e jedna z ca�ek
  jest zbie�na prowadzi� b�dzie do istnienia dodatkowych rozwi�za�.

\item Dow�d implikacji ,,$\Rightarrow$'':

\noindent Za��my, �e $\varphi$ jest
rozwi�zaniem zagadnienia $(RZ)$, $\varphi(t_0)=\eta$, $\varphi\not \equiv\eta$. Wtedy na pewno:
$$\exists_{t_{1}\in(\alpha,\beta)}\varphi(t_1)\neq\eta.$$
Za��my, �e $t_0<t_1$ (przeciwny przypadek rozpatrzymy p�niej - jest analogiczny).
Niech teraz:
$$t_{2}=\sup \{ t\in\langle t_0,t_1): \varphi(t)=\eta\}.$$
Wtedy na pewno $\varphi(t)\neq\eta$ dla $t\in (t_2,t_1)$.

\noindent Skoro $\varphi$ jest rozwi�zaniem, to dla $t\in(t_2,t_1)$:
$$\varphi^{\prime}(t)=g(t)h(\varphi(t)).$$
W przedziale $t\in (t_2,t_1)$, $h(\varphi(t))$ nie zeruje si�, wi�c mo�na podzieli�:
$$\frac{\varphi^{\prime}(t)}{h(\varphi(t))}=g(t).$$
Dla dowolnego $\overline{t}\in(t_2,t_1)$ mo�emy napisa�:
$$\int _{\overline{t}}^{t_1}\frac{\varphi^{\prime}(t)}{h(\varphi(t))}dt=\int_{\overline{t}}^{t_1}g(t)dt.$$
W ca�ce z lewej strony zastosujmy zamian� zmiennych $u=\varphi(t)$, mamy wi�c:
$$\int _{\varphi(\overline{t})}^{\varphi(t_1)} \frac{du}{h(u)}=\int_{\overline{t}}^{t_1}g(t)dt.$$
Oczywi�cie $(\overline{t},t_1)\subset(\alpha,\beta)$, a funkcja $g$ jest
ci�g�a, wi�c ca�ka po prawej stronie istnieje. Ca�ka z lewej strony r�wnie�
musi istnie�. Przejd�my teraz do granicy $\overline{t}\to t_2$, mamy wtedy:
$$\int _{\eta}^{\varphi(t_1)} \frac{du}{h(u)}=\int _{t_2}^{t_1}g(t)dt$$
Ca�ka z prawej strony jest okre�lona (istnieje). Je�li wi�c
$\varphi(t_1)>\eta$, to ca�ka $\int _{\eta}^{\eta+\epsilon}
\frac{du}{h(u)}$ jest zbie�na dla pewnego $\epsilon>0$, a dok�adniej dla
$\epsilon=\varphi(t_1)-\eta>0$. Je�li natomiast $\varphi(t_1)<\eta$, to
ca�ka $\int _{\eta}^{\eta-\epsilon} \frac{du}{h(u)}$ jest zbie�na dla
$\epsilon=\eta-\varphi(t_1)>0$. Co ko�czy cz�� dowodu przy za�o�eniu
$t_1>t_0$.

\noindent Za��my wi�c, �e $t_1<t_0$. Oznaczmy wtedy:
$$t_2=\inf \{t\in(t_1,t_0\rangle,\ \varphi(t)=\eta\}$$
Dalsze rozwa�anie jest analogiczne i prowadzi nas do zbie�no�ci ca�ki:
$$\int _{\eta}^{\varphi(t_1)} \frac{du}{h(u)},$$
co ko�czy dow�d implikacji ,,$\Rightarrow$''.

%% --

\item Dow�d implikacji ,,$\Leftarrow$'': Za��my, �e ca�ka:
$$\int_{\eta}^{\eta+\epsilon} \frac{du}{h(u)},$$
jest zbie�na dla pewnego $\epsilon>0$. B�dziemy rozpatrywa� r�ne przypadki ze wzgl�du na znaki $g$ i $h$
(musimy rozpatrywa� te przypadki aby zapewni� zgodno�� znak�w w odpowiednich nier�wno�ciach i r�wno�ciach).

Za��my, �e $h(u)>0$ dla $u>\eta$. Niech $t_0\in(\alpha,\beta)$ b�dzie
takie, �e $g(t_0)\neq 0$. Za��my, �e $g(t_0)>0$. Przy takich
za�o�eniach:
$$\exists_{\epsilon>0} \int_{\eta}^{\eta+\epsilon}\frac{du}{h(u)}=\int _{t_0}^{t}g(s)ds,$$
dla pewnych $t$ wi�kszych lub r�wnych $t_0$. Musimy tylko okre�li� dla jakich. (Zauwa�my,
�e ca�ka po prawej stronie istnieje dla ka�dego $t$ z dziedziny r�wnania. Za�o�yli�my jednak
zbie�no�� ca�ki po stronie lewej tylko dla pewnego $\epsilon$. Nie wiemy jak du�e jest to $epsilon$
i czy ,,wystarczy'' dla ka�dego $t$. By� mo�e trzeba b�dzie ograniczy� nieco dziedzin� rozwi�zania.)
Niech teraz $\overline{\epsilon}$ b�dzie najwi�ksz� mo�liw� warto�ci�
$\epsilon$ tak, aby $\int_{\eta}^{\eta+\epsilon}\frac{du}{h(u)}$ istnia�a.
(Je�li nie da si� znale�� takiego $\overline{\epsilon}$ to bierzemy najmniejsze $\epsilon$ dla kt�rego
ca�ka nie istnieje i poni�sz� s�ab� nier�wno�� zamieniamy na ostr�.)
Wtedy rozwi�zanie nier�wno�ci:
$$\qquad\int_{\eta}^{\eta+\overline{\epsilon}}\frac{du}{h(u)}\geq\int_{t_0}^{t}g(s)ds,$$
daje nam dziedzin�, w kt�rej r�wno��:
$$(*)\qquad\int_{\eta}^{\varphi(t)}\frac{du}{h(u)}=\int_{t_0}^{t}g(s)ds,$$
wyznacza rozwi�zanie $\varphi(t)$. Rozwi�zanie takie rzeczywi�cie nie jest sta�e,
oraz spe�nia warunek pocz�tkowy, czyli za�o�enie o zbie�no�ci ca�ki prowadzi nas
do istnienia wi�cej ni� jednego rozwi�zania.

To ko�czy dow�d jednego z przypadk�w. Inne otrzymujemy analogicznie (zmieni
si� dziedzina szukanego rozwi�zania, oraz by� mo�e kolejno�� granic w ca�ce).
W ten spos�b ko�czymy dow�d przy za�o�eniu, �e ca�ka $\int_{\eta}^{\eta+\epsilon}\frac{du}{h(u)}$ jest zbie�na.
Przypadek gdy $\int_{\eta}^{\eta-\epsilon}\frac{du}{h(u)}$ jest zbie�na, przebiega analogicznie.
\end{enumerate}
\end{proof}

\section{R�wnania o rozdzielaj�cych si� zmiennych}

R�wnania o rozdzielaj�cych si� zmiennych, to r�wnania, kt�re poprzez odpowiednie przekszta�cenia,
b�d� podstawienia mo�na sprowadzi� do r�wna� o rozdzielonych zmiennych. Przedstawimy poni�ej kilka przyk�ad�w
takich r�wna�.

\subsection{R�wnanie jednorodne}

Nie nale�y myli� tego r�wnania, z r�wnaniem liniowym jednorodnym. Jest to zupe�nie co� innego.
R�wnanie jednorodne to r�wnanie postaci:
$$x^{\prime}(t)=f\left(\frac{x(t)}{t}\right).$$
Aby je rozwi�za� wykonujemy podstawienie: $x(t)=tz(t)$. Wtedy r�wnanie ma posta�:
$$z(t)+tz^{\prime}(t)=f(z(t)),$$
co daje si� �atwo rozwi�za�:
$$z^{\prime}(t)=\frac{1}{t}(f(z(t))-z(t)),$$
$$\frac{z^{\prime}(t)}{f(z(t))-z(t)}=\frac{1}{t},$$
$$\int _{z(t_0)}^{z(t)}\frac{du}{f(u)-u}=\int _{t_0}^{t}\frac{1}{s}ds.$$

\subsection{R�wnanie Bernoulliego}

R�wnanie Bernoulliego, to r�wnanie postaci:
$$x^{\prime}(t)=a(t)x(t)+b(t)x(t)^{p},\qquad p\in\mathbb{R}.$$

\noindent Po pierwsze zauwa�my, �e gdy $p=0$ to mamy do czynienia z r�wnaniem liniowym
jednorodnym, natomiast gdy $p=1$ z r�wnaniem liniowym niejednorodnym. W obu
przypadkach znamy proste metody znajdowania rozwi�za�. Za��my wi�c, �e $p\neq 0$
oraz $p\neq 1$.

\noindent Aby rozwi�za� to r�wnaniem wykorzystamy podstawienie: $x(t)=z(t)^{r}$,
gdzie $r$ jest pewn� ustalon� liczb�, kt�r� zaraz wyliczymy:
$$rz^{\prime}(t)z^{r-1}(t)=a(t)^{r}z(t)+b(t)z^{pr}(t),$$
$$z^{\prime}(t)=\frac{1}{r} a(t)z(t)+\frac{1}{r} b(t)z^{pr-r+1}(t).$$
Niech wi�c $r=\frac{1}{1-p}$, wtedy r�wnanie ma posta�:
$$z^{\prime}(t)=(1-p)a(t)z(t)+(1-p)b(t).$$
Jest to r�wnanie liniowe, kt�re �atwo daje si� rozwi�za�.

\subsection{R�wnanie Ricattiego}

R�wnanie Ricattiego, to r�wnanie postaci:
$$x^{\prime}(t)=a(t)x(t)+b(t)x^2(t)+c(t).$$
Podamy metod� rozwi�zania, gdy znamy przynajmniej jedno rozwi�zanie. Niech $x_1$ b�dzie tym
rozwi�zaniem. Wykonujemy podstawienie: $x=x_1+z$. W�wczas:
$$x_1^{\prime}(t)+z^{\prime}(t)=a(t)x_1(t)+a(t)z(t)+b(t)\left(x_1(t)+z(t)\right)^2+c(t),$$
sk�d otrzymujemy:
$$z^{\prime}(t)=(a(t)+2b(t)x_1(t))z(t)+b(t)z^2(t),$$
co jest prostym r�wnaniem Bernoulliego.

\subsection{R�wnanie typu: $x^{\prime}(t)=f(at+bx(t)+c)$}
Aby rozwi�za� takie r�wnanie stosujemy podstawienie: $at+bx(t)+c=z(t)$ i mamy:
$$\frac{1}{b}z^{\prime}(t)-\frac{a}{b}=f(z(t)),$$
$$z^{\prime}(t)=a+bf(z(t)),$$
$$\int_{z(t_0)}^{z(t)}\frac{du}{a+bf(u)}=t-t_0.$$


%% FIXME: jakie� zr�bane to jest
\subsection{R�wnanie typu: $x^{\prime}(t)=f\left(\frac{At+Bx(t)+c}{at+bx(t)+c}\right)$}

Niech $W$ oznacza wyznacznik:
$$W=\left|\begin{array}{cc} A & B\\a & b\end{array}\right|.$$
Rozpatrzymy przypadki ze wzgl�du na $W$:
\begin{enumerate}
\item $W=0$: Znaczy to, �e istnieje $\lambda$ taka, �e:
$$At+Bx(t)=\lambda(at+bx(t)).$$
Mo�emy wi�c zastosowa� podstawienie: $at+bx(t)=z(t)$ i wtedy mamy:
$$\frac{1}{b}z^{\prime}(t)-\frac{a}{b}=f\left(\frac{\lambda z(t)+C}{z(t)+c}\right),$$
co daje si� �atwo rozwi�za�.

\item $W\neq 0$: W tym przypadku podstawienie b�dzie bardzie skomplikowane. Musimy podstawi� co�
zar�wno za $x$ jak i za $t$:
$$\left\{\begin{array}{l} x(t)=z(s)+\alpha \\ t=s+\beta\end{array}\right.$$
Gdzie $\alpha$ i $\beta$ to liczby kt�re zaraz wyznaczymy:
  $$x^{\prime}(t)=\frac{d}{dt} (z(s)+\alpha)=\frac{dz}{ds}\frac{ds}{dt}=z^{\prime}(s)$$
  $$z^{\prime}(s)=f\left(\frac{As+Bz(s)+A\beta+B\alpha+C}{as+bz(s)+a\beta+b\alpha+c}\right)$$
  $$\left\{\begin{array}{l} A\beta+B\alpha=-C \\
  a\beta+b\alpha=-c\end{array}\right.$$
  Powy�szy uk�ad ma jednoznaczne rozwi�zanie, ze wzgl�du na za�o�enie $W\neq 0$.
  Wstawiaj�c rozwi�zania uk�adu do naszego r�wnania, mamy:
  $$z^{\prime}(s)=f\left(\frac{A+B\frac{z(s)}{s}}{a+b\frac{z(s)}{s}}\right).$$
  Takie r�wnanie daje si� ju� �atwo rozwi�za�.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% --------
\chapter{Istnienie rozwi�zania - tw.~Peano}

\section{Wprowadzenie}

W tym rozdziale udowodnimy twierdzenie Peano, kt�re b�dzie m�wi� o istnieniu
rozwi�zania r�wnania pierwszego rz�du. Zanim jednak podamy dow�d tego twierdzenia
(jak i sam� tre��), musimy wprowadzi� kilka definicji i fakt�w pomocniczych.

\subsection{Oznaczenia}

Rozwa�a� b�dziemy zagadnienie:
$$\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}(t)=f(t,x(t)) \\ x(t_{0}) = x_{0}\end{array}\right.$$
Podobnie jak poprzednio to zagadnienie, nazywa� b�dziemy $(PC),(WP)$, gdzie
$(PC)$ to skr�t od ,,problem Cauchy'ego'', natomiast $(WP)$ -- ,,warunek pocz�tkowy''.

\subsection{Definicje i lematy}

\begin{definicja}[ci�g funkcji wsp�lnie ograniczony]
M�wimy, �e ci�g funkcji $\{f_{n}\}$ jest wsp�lnie ograniczony je�eli:
$$\exists_{M}\forall_{n}\forall_{x\in[a,b]}\ |f_{n}(x)|\leq M.$$
\end{definicja}

\begin{definicja}[funkcje jednakowo ci�g�e]
M�wimy, �e funkcje $\{f_{n}\}$ s� jednakowo ci�g�e je�eli:
$$\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{n}\forall_{x,x^{\prime}\in[a,b]}\
|x-x^{\prime}|<\delta\Rightarrow |f_{n}(x)-f_{n}(x^{\prime})|<\epsilon.$$
\end{definicja}

\begin{definicja}[jednostajna zbie�no�� ci�gu funkcyjnego]
M�wimy, �e ci�g funkcji $g_{n}\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ jest jednostajnie
zbie�ny do funkcji $g$, je�eli:
$$\forall_{\epsilon>0}\exists_{N}\forall_{n>N}\forall_{x\in[a,b]}\
|g_{n}(x)-g(x)|<\epsilon.$$
Zapisujemy to: $g_n\rightrightarrows g$.
\end{definicja}

\begin{lemat}[twierdzenie Arzeli--Ascoli]
Za��my, �e $f_{n}\colon [a,b]\to\mathbb{R},\ n=1,2,...$, oraz funkcje
$\{f_{n}\}$ s� wsp�lnie ograniczone i jednakowo ci�g�e, wtedy istnieje
podci�g $\{f_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty}$ taki, �e jest on jednostajnie
zbie�ny na odcinku $[a,b]$.
\end{lemat}

\noindent\textbf{Dow�d:} Lemat podany bez dowodu\footnote{Dow�d mo�na znale�� w internecie, na przyk�ad tu: \url{http://www.lukebiewald.com/arzela.pdf}.}.

\begin{tw}[o granicy ca�ki jednostajnie zbie�nego ci�gu funkcyjnego]
Je�eli ci�g funkcji $\{f_{n}\}$ jest jednostajnie zbie�ny do $f$, to:
$$\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)dx.$$
\end{tw}

\noindent\textbf{Dow�d:} Twierdzenie podajemy bez dowodu.

Potrzebne b�dzie nam jeszcze zdefiniowanie normy. Formaln� definicj� mo�na
znale�� w notatkach do wyk�adu Algebra Liniowa. My za definicje przyjmiemy
konkretne przyk�ady norm w konkretnych przestrzeniach. Oznaczenia i wzory
zebrano w poni�szej definicji.

\begin{definicja}[norma]
Dla $\mathbb{R}^{n}$ u�ywa� b�dziemy norm:
$$||x||_{1}=\sum_{j=1}^{n}|x_{j}|,$$
$$||x||_{2}=\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}},$$
$$||x||_{\infty}=\max_{i}|x_{i}|.$$
Dla przestrzeni funkcji ci�g�ych okre�lonych na przedziale $[a,b]$, kt�r� oznaczamy przez $C([a,b])$,
u�ywa� b�dziemy norm:
$$||x||_{\infty}=\max_{t\in[a,b]}|x(t)|,$$
$$||x||_{0}=\sup_{t\in[a,b]}|x(t)|.$$
\end{definicja}

\begin{definicja}[ci�g Cauchy'ego]
Ci�g $\{x_{n}\}$ jest ci�giem Cauchy'ego gdy:
$$\forall_{\epsilon>o}\forall_{k}\exists_{N}\forall_{n>N}\ ||x_{n}-x_{k}||<\epsilon$$
\end{definicja}

\begin{definicja}[przestrze� Banacha]
Przestrze� unormowan� w kt�rej ka�dy ci�g Cauchy'ego jest zbie�ny
nazywamy przestrzeni� Banacha.
\end{definicja}

\begin{definicja}[odcinek w przestrzeni liniowej]
Odcinkiem ��cz�cym elementy $a$ i $b$ w przestrzeni liniowej, nazywamy zbi�r:
$$\{\lambda a+(1-\lambda)b\colon\lambda\in[0,1]\}$$
\end{definicja}

\begin{definicja}[zbi�r wypuk�y]
Zbi�r nazywamy wypuk�ym w przestrzeni liniowej, je�eli to, �e dwa punkty
nale�� do niego, poci�ga za sob�, �e ca�y odcinek ��cz�cy te punkty
te� nale�y do tego zbioru.
\end{definicja}

\begin{definicja}[zbi�r zwarty]
Zbi�r nazywamy zwartym je�eli z ka�dego ci�gu zawartego w tym zbiorze da
si� wybra� podci�g zbie�ny do granicy w tym zbiorze.
\end{definicja}

\begin{uwaga}[tw. Bolzano--Weierstrassa]
Ka�dy podzbi�r $K$ przestrzeni $\mathbb{R}^{n}$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy
gdy jest domkni�ty i ograniczony,
\end{uwaga}

\begin{definicja}[zbi�r relatywnie zwarty]
Zbi�r nazywamy relatywnie zwartym je�li jego domkni�cie jest zbiorem zwartym.
\end{definicja}

\begin{definicja}[operator]
Operatorem nazywamy tak� funkcj�, kt�rej dziedzin� i przeciwdziedzin� jest
zbi�r funkcji. Dla operator�w stosuje si� cz�sto uproszczon� notacj�, tzn.
argumentu operatora nie umieszcza si� w nawiasach. Je�li $F$ jest operatorem,
a $x$ funkcj� z jego dziedziny, to zapis: $(Fx)(t)$ oznacza warto�� funkcji
kt�ra jest warto�ci� operatora $F$ dla argumentu $x$ w punkcie $t$.
\end{definicja}

Powy�sza definicja mo�e wyda� si� skomplikowana, jednak wszystko to jest bardzo
proste. W matematyce bardzo cz�sto spotykamy operatorami (czasem
nawet nie�wiadomie). Cz�sto stosowanymi operatorami s�: operator r�niczkowania
(wtedy: $(Fx)(t) = x^{\prime}(t)$) albo operator ca�kowania (wtedy: $(Fx)(t) = \int_{t_{0}}^{t} x(s)ds$).

\begin{tw}[Schaudera o punkcie sta�ym]
Niech $F\colon E\to E$ b�dzie funkcj� ci�g�� gdzie $E$ jest przestrzeni�
Banacha. Je�eli $F(E)$ zawiera si� w zbiorze relatywnie zwartym, to istnieje
$x\in E$, taki, �e $x=F(x)$ (punkt sta�y funkcji).
\end{tw}

\noindent\textbf{Dow�d:} pomijamy\footnote{Dow�d mo�na znale�� w internecie: \url{http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfSchauderFixedPointTheorem.html}.}.


\section{Twierdzenie Peano}

\subsection{Globalne twierdzenie Peano}

Jeste�my ju� gotowi, aby poda� i udowodni� twierdzenie Peano. W ramach
wyk�adu prezentowane by�y dwa r�ne dowody tego twierdzenia. My ograniczymy
si� w tym opracowaniu do pokazania tylko jednego, zdaniem autor�w prostszego,
dowodu.

\begin{tw}[Peano]
Za��my, �e funkcja $f\colon[a,b]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest
funkcj� ci�g�� i ograniczon�. Wtedy zagadnienie $(PC),(WP)$
posiada rozwi�zanie, dla ka�dego $t_{0}\in[a,b]$, $x_0\in\mathbb{R}$. Jest
ono okre�lone na $[a,b]$.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Definiujemy przestrze� $X$ wszystkich funkcji ci�g�ych $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$
i normujemy j�, norm� supremum. Takie $X$ jest przestrzeni� Banacha.
\item Definiujemy operator $F\colon X\to X$, dany wzorem:
$$(Fx)(t) = x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}f(s,x(s))ds.$$
\item Stwierdzamy poprawno�� definicji tego operatora, oraz jego ci�g�o��.
\item Pokazujemy, �e zbi�r warto�ci operatora stanowi� funkcje jednakowo ci�g�e
i wsp�lnie ograniczone.
\item Korzystaj�c z lematu Arzeli--Ascoli, wiemy wi�c �e zbi�r warto�ci jest
zbiorem zwartym.
\item Korzystaj�c z tw. Shaudera, wiemy, �e nasz operator ma punkt sta�y.
\item Punkt sta�y operatora $F$ jest rozwi�zaniem r�wnania.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
\begin{enumerate}
\item Niech $X=C([a,b],\mathbb{R})$ zbi�r wszystkich funkcji ci�g�ych
  $[a,b]\to\mathbb{R}$. Taki $X$ jest przestrzeni� liniow�.
  Wprowad�my norm�:
  $$||x||=\sup_{t\in[a,b]} |x(t)|,$$
  gdzie $x\in X$. Z tak zdefiniowan� norm�, przestrze� $X$ jest
  przestrzeni� Banacha.

\item Zdefiniujmy operator $F\colon X\to X$ dany wzorem:
  $$(Fx)(t)=x_0+\int_{t_{0}}^{t}f(s,x(s))ds.$$
  F jest poprawnie zdefiniowany. Ca�ka zawsze istnieje ze wzgl�du na
  ci�g�o�� $f$ i ograniczono�� argumentu $f$ w prostok�cie:
  $[a,b]\times[x(a),x(b)]$.

\item Nale�a�oby pokaza� ci�g�o�� operatora $F$. Ograniczmy si�, do
  pokazania, �e je�li warto�� $x$ zmienimy niewiele, to $Fx$ r�wnie� nie
  wiele si� zmieni:
  $$|(Fx)(t) - (Fy)(t)|\leq \left|\int_{t_{0}}^{t}|f(s,x(s)) - f(s,y(s))|ds\right|.$$
  Zauwa�my, �e warto�� r�nicy $f(s,x(s)) - f(s,y(s))$ jest ,,ma�a'' je�li $x$ i $y$
  r�ni� si� niewiele. Je�li wi�c $y$ d��y do $x$ w sensie normy, to $|Fx-Fy|$
  d��y do zera.

\item Chcemy pokaza�, �e zbi�r warto�ci $F$ jest zbiorem zwartym. Poka�emy
najpierw �e wszystkie jego elementy s� wsp�lnie ograniczone:
$$|(Fx)(t)|=|x_0+\int_{t_{0}}^{t}f(s,x(s))ds|\leq
|x_0|+|\int_{t_{0}}^{t}f(s,x(s))ds|\leq$$
$$\leq |x_0|+|\int_{t_{0}}^{t}Mds|\leq|x_0|+M(b-a)$$
Gdzie $M$ jest ograniczeniem funkcji $f$. Mamy wi�c:
$$|(Fx)(t)|\leq |x_{0}|+M(b-a).$$
Je�li z obu stron we�miemy supremum po $t$, to mamy, zgodnie z definicj� naszej normy:
$$||Fx||\leq |x_0|+M(b-a).$$

Wszystkie elementy zbioru warto�ci $F$ s� r�wnie� jednakowo ci�g�e. Niech
$t$ oraz $\tau$ nalez� do $[a,b]$, wtedy:
$$|(Fx)(t)-(Fx)(\tau)|=\left|\int_{t_0}^{t}f(s,x(s))ds-\int_{t_0}^{\tau}f(s,x(s))ds\right|=\left|\int_{\tau}^{t}f(s,x(s))ds\right|\leq$$
$$\leq\left|\int_{\tau}^{t}|f(s,x(s))|ds\right|\leq\left|\int_{\tau}^{t}|M|ds\right|=M|t-\tau|$$
Czyli mamy: $$|(Fx)(t)-(Fx)(\tau)|\leq M|t-\tau|,$$
co dowodzi jednakowej ci�g�o�ci element�w zbioru.

Na mocy lematu Arzeli--Ascoli zbi�r warto�ci $F$ jest zbiorem relatywnie
zwartym (zawiera si� w zbiorze zwartym), a to ju� wystarczy aby zastosowa�
twierdzenie Schaudera.

\item Na mocy twierdzenia Schaudera ($F$ spe�nia za�o�enia tego twierdzenia)
istnieje taka funkcja ci�g�a $z\colon[a,b]\to\mathbb{R}$, kt�ra
spe�nia $z=Fz$, czyli $z(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,z(s))ds$.

\item Taka funkcja $z$ jest rozwi�zaniem r�wnania i ca�ego zagadnienia, poniewa�:
  $$z(t_0)=x_0,$$
  $$z^{\prime}(t)=f(t,z(t)).\qedhere$$
\end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Lokalne twierdzenie Peano}

Podamy teraz dow�d zmodyfikowanej wersji twierdzenia Peano, w kt�rej nie zak�adamy
ju� ograniczono�ci funkcji $f$. Okazuje si�, �e wtedy r�wnie� istnieje rozwi�zanie,
jednak nie musi ono by� okre�lone na ca�ym przedziale $[a,b]$, st�d s�owo ,,lokalne''
w nazwie twierdzenia.

\begin{tw}[Peano -- lokalne]
Za��my, �e $f\colon[a,b]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest funkcj�
ci�g��, $t_0\in[a,b]$, $x_0\in\mathbb{R}$, wtedy istnieje rozwi�zanie
zagadnienia (PC) okre�lone na\footnote{Dziedzina rozwi�zania ma tak� w�a�nie
posta�, aby pozby� si� problem�w gdy $t_{0}=a$ lub $t_{0}=b$. Zauwa�my bowiem,
�e dla tych przypadk�w przedzia� $(t_{0}-\delta,t_{0}+\delta)$ nie zawiera si�
w przedziale $[a,b]$ dla �adnego $\delta>0$.}: $(t_0-\delta,t_0+\delta)\cap[a,b]$ dla pewnego
$\delta>0$.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Ograniczamy poszukiwania rozwi�zania do prostok�ta, na kt�rym
$f$ jest ograniczona.
\item Okre�lamy now� funkcj� $\tilde{f}$, kt�ra na tym prostok�cie
  $\equiv f$, a poza nim jest sta�a i przyjmuje te same warto�ci co na brzegu.

\item Takie $\tilde{f}$ spe�nia za�o�enia globalnego twierdzenia Peano
  wi�c $(\tilde{PC}),(WP)$\footnote{Przez $(\tilde{PC})$ rozumiemy problem Cauchy'ego
  w kt�rym po prawej stronie wyst�puje funkcja $\tilde{f}$.} ma rozwi�zanie.

\item Pokazujemy, �e rozwi�zanie to jest dobre tak�e dla $(PC),(WP)$.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
\begin{enumerate}
\item Chcemy ograniczy� poszukiwania rozwi�zania do pewnego prostok�ta. Czyli
$f$ b�dziemy rozwa�a� na: $[a,b]\times[x_{0}-\lambda,x_{0}+\lambda]$, dla pewnego
$\lambda>0$. Dla prostoty i bez utraty og�lno�ci, przyjmijmy $\lambda=1$.
Wprowad�my r�wnie� oznaczenie: $$\Omega=[a,b]\times[x_{0}-1,x_{0}+1].$$
Je�li rozwa�ymy $f$ na zbiorze $\Omega$ to na pewno:
$$\exists_{M>0}\forall_{(t,x)\in\Omega}\ |f(t,x)|\leq M,$$
poniewa� $f$ jest ci�g�a wi�c jest ograniczona na zbiorze domkni�tym.

Niech:
$$A=(\underbrace{[t_0-\delta,t_0+\delta]\cap[a,b]}_{I})\times[x_0-1,x_0+1],$$
oraz niech: $\delta=\frac{1}{M}.$
Przy takich oznaczeniach oczywi�cie: $$\forall_{(t,x)\in A}\ |f(t,x)|\leq M$$

\item Okre�lamy now� funkcj�:
  $$\tilde{f}=\left\{\begin{array}{ll}
  f(t,x), & \textrm{dla } (t,x)\in A \\
  f(t,x_0+1), & \textrm{dla } t\in I,\ x\geq x_0+1 \\
  f(t,x_0-1), & \textrm{dla } t\in I,\ x\leq x_0-1 \end{array}\right.$$
  z okre�lenia wynika, �e:
  $$\forall_{t\in I; x\in\mathbb{R}}\left|\tilde{f}(t,x)\right|\leq M$$

  Rozwa�a� wi�c b�dziemy problem Cauchy'ego ($\tilde{PC}$) postaci:
  $$\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=\tilde{f}(t,x(t)) \\ x(t_0)=x_0\end{array}\right.$$

\item Problem ($\tilde{PC}$) spe�nia za�o�enia globalnego
  twierdzenia Peano. Istnieje wi�c $z\colon I\to\mathbb{R}$, kt�re jest
  rozwi�zaniem ($\tilde{PC}$) na $I$.

\item Poniewa� $|z^{\prime}(t)|=|\tilde{f}(t,z(t))|\leq M$, to $(t,z(t))\in A$
  dla $t\in I$, czyli $$z^{\prime}(t)=f(t,z(t))\textrm{ dla } t\in I.\qedhere$$
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{uwaga}[uog�lnienia tw. Peano]
Mo�na sformu�owa� i udowodni� specjalne wersje tw. Peano:
\begin{enumerate}
\item gdy $f\colon(a,b)\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,
\item dla uk�ad�w r�wna� -- czyli dla funkcji wielowymiarowych.\footnote{W tym przypadku
dow�d przebiega dok�adnie tak samo jak w globalnym tw., z t� r�nic�, �e w odpowiednich
miejscach warto�� bezwzgl�dn� zast�pujemy norm�.}
\end{enumerate}
\end{uwaga}

\chapter{Jednoznaczno�� rozwi�zania -- tw.~Picarda}

\section{Wprowadzenie}
Ten rozdzia� jest naturaln� kontynuacj� tematyki z poprzednich rozdzia��w, wszystkie
oznaczenia pozostaj� wi�c niezmienione. B�dziemy tutaj d��yli do udowodnienia
twierdzenia Picarda, kt�re zawiera� b�dzie warunki jakie maj� by� spe�nione, aby
na pewno istnia�o dok�adnie jedno rozwi�zanie zagadnienia (w poprzednim rozdziale
poznali�my warunki na to by istnia�o jakie� rozwi�zanie -- jednak nie by�o pewno�ci
�e by�o ono jedyne).

\section{Twierdzenia pomocnicze}

\begin{tw}[nier�wno�� Gronwall'a]
Za��my, �e $u,g\colon[a,b]\to[0,+\infty)$, s� ci�g�e oraz
$u(t)\leq C+\int_{a}^{t}g(s)u(s)ds$, $t\in[a,b]$, dla pewnego $C\geq 0$.
Wtedy: $$u(t)\leq Ce^{\int_{a}^{t}g(s)ds},\ t\in[a,b].$$
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Rozpatrujemy oddzielnie dwa przypadki: $C>0$ i $C=0$.
\item Dla $C>0$ d��ymy do udowodnienia oszacowania:
  $C+\int_{a}^{t}g(s)u(s)ds\leq Ce^{\int_{a}^{t}g(\tau)d\tau}.$
\item W przypadku $C=0$, stosujemy udowodnion� ju� cz�� twierdzenia,
rozpatruj�c nier�wno�ci, gdzie zamiast sta�ej $C$ mamy wyra�enie $\frac{1}{n}$.
Nier�wno�� musi by� prawdziwa dla ka�dego $n\in\mathbb{N}$. Przechodz�c do granicy,
otrzymujemy natychmiast, �e $u\equiv 0$.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Za��my, �e $C>0$.
Nier�wno�� z za�o�e� twierdzenia: $u(t)\leq C+\int_{a}^{t}g(s)u(s)ds$ pomn�my
obustronnie przez $\frac{g(t)}{C+\int_{a}^{t}g(s)u(s)ds}$. Otrzymujemy:
$$\frac{u(t)g(t)}{C+\int_{a}^{t}g(s)u(s)ds}\leq g(t).$$
Sca�kujmy teraz obustronnie w granicach od $a$ do $t$:
$$\int_{a}^{t}\frac{u(\tau)g(\tau)}{C+\int_{a}^{\tau}g(s)u(s)ds}d\tau\leq\int_{a}^{t}g(\tau)d\tau.$$
W ca�ce po lewej stronie licznik jest pochodn� mianownika, mamy wi�c:
$$\ln\left(C+\int_{a}^{t}g(s)u(s)ds\right)-\ln(C)=\ln\left(\frac{C+\int_{a}^{t}g(s)u(s)ds}{C}\right)\leq\int_{a}^{t}g(\tau)d\tau,$$
co daje nam:
$$\frac{C+\int_{a}^{t}g(s)u(s)ds}{C}\leq e^{\int_{a}^{t}g(\tau)d\tau}.$$
Mamy wi�c:
$$C+\int_{a}^{t}g(s)u(s)ds\leq Ce^{\int_{a}^{t}g(\tau)d\tau},$$
czyli korzystaj�c z za�o�e� twierdzenia:
$$u(t)\leq Ce^{\int_{a}^{t}g(\tau)d\tau}.$$

\noindent Je�eli natomiast $C=0$, to zachodzi na pewno:
$$\forall_{n\in\mathbb{N_{+}}}\ u(t)\leq\frac{1}{n}+\int_{a}^{t}g(\tau)u(\tau)d\tau.$$
Dla takiej nier�wno�ci mo�emy skorzysta� z udowodnionej ju� cz�ci twierdzenia:
$$u(t)\leq\frac{1}{n}e^{\int_{a}^{t}g(\tau)d\tau}.$$
Przechodz�c do granicy $n\to \infty$ mamy:
$$u(t)\leq 0,\mathrm{\ czyli\ }u\equiv 0.$$
\end{proof}


\begin{tw}[Banacha o punkcie sta�ym\footnote{Twierdzenie nazywane jest r�wnie�: ,,zasada Banacha o odwzorowaniach zw�aj�cych''.}]
Niech $D$ b�dzie domkni�tym podzbiorem przestrzeni Banacha z norm� $||.||$,
oraz niech: $F\colon D\to D$, oraz istnieje sta�a $\lambda\in[0,1)$
taka, �e $\forall_{x,y\in D}\ ||Fx-Fy||\leq\lambda||x-y||$. Wtedy istnieje
dok�adnie jedno rozwi�zanie $\bar{x}$ r�wnania $x=Fx$. Jest ono granic�
ci�gu $\{\varphi_{n}\}$ takiego, �e $\varphi_0\in D$,
$\varphi_{n+1}=F(\varphi_{n})$. Ponadto zachodzi:
$$||\varphi_{n}-\bar{x}||\leq\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}||\varphi_0-F(\varphi_0)||.$$
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Korzystaj�c z definicji ci�gu $\{\varphi_{n}\}$ podanej w
  tre�ci twierdzenia, podajemy szacowania na: $||\varphi_{n}-\varphi_{n-1}||$
  oraz $||\varphi_{n+k}-\varphi_{n}||$.
\item Korzystaj�c z tego co mamy z punktu 1, pokazujemy, �e ci�g
 $\{\varphi_{n}\}$ jest ci�giem Cauchy'ego.
\item A skoro tak, to ze wzgl�du na w�asno�ci zbioru $D$ orzekamy,
  �e ci�g $\{\varphi_{n}\}$ musi by� zbie�ny (do granicy kt�r� oznaczamy
  $\bar{x}$).
\item Pokazujemy, �e je�li $\bar{x}$ jest granic� $\{\varphi_{n}\}$
  to $F\bar{x}=\bar{x}$.
\item Pokazujemy nier�wno��:
  $||\varphi_{n}-\bar{x}||\leq\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}||\varphi_0-F(\varphi_0)||$.
\item Pokazujemy, �e je�li jakie� $z$ jest rozwi�zaniem $Fx=x$ to na pewno
$z\equiv\bar{x}$. Czyli jest tylko jedno rozwi�zanie r�wnania $Fx=x$.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Chcemy pokaza�, �e ci�g $\{\varphi_{n}\}$ jest ci�giem Cauchy'ego. W tym celu
oszacujemy najpierw r�nic� $||\varphi_{n}-\varphi_{n-1}||$:
$$||\varphi_{n}-\varphi_{n-1}||=||F(\varphi_{n-1})-F(\varphi_{n-2})||\leq\lambda||\varphi_{n-1}-\varphi_{n-2}||\leq$$
$$\leq\lambda^{2}||\varphi_{n-2}-\varphi_{n-3}||\leq\ldots\leq\lambda^{n-1}||\varphi_{1}-\varphi_{0}||.$$

Mamy wi�c oszacowanie odleg�o�ci wyrazu $n$ od wyrazu nast�pnego. Aby pokaza�,
�e $\{\varphi_{n}\}$ spe�nia warunek Cauchy'ego, musimy jednak oszacowa�, co�
wi�cej, a mianowicie $||\varphi_{n+k}-\varphi_{n}||$. Zauwa�my najpierw, �e
to wyra�enie mo�na zapisa� r�wnie� w postaci:
$$||(\varphi_{n+k}-\varphi_{n+k-1})+(\varphi_{n+k-1}-\varphi_{n+k-2})+\ldots+(\varphi_{n-1}-\varphi_{n})||.$$
Z nier�wno�ci tr�jk�t, kt�ra zachowana jest r�wnie� dla normy, mamy wi�c, �e:
$$||\varphi_{n+k}-\varphi_{n}||\leq||\varphi_{n+k}-\varphi_{n+k-1}||+\ldots+||\varphi_{n-1}-\varphi_{n}||.$$
Dla wyra�e� znajduj�cych si� z prawej strony nier�wno�ci mo�emy zastosowa�
poprzednie oszacowanie. Mamy wi�c:
$$||\varphi_{n+k}-\varphi_{n}||\leq\lambda^{n+k-1}||\varphi_{1}-\varphi_{0}||+\lambda^{n+k-2}||\varphi_{1}-\varphi_{0}||+\ldots+\lambda^{n}||\varphi_{1}-\varphi_{0}||.$$
Praw� stron� mo�na oczywi�cie zapisa�:
$$\lambda^{n}||\varphi_1-\varphi_0||(\lambda^{k-1}+\lambda^{k-2}+\ldots+1).$$
Cz�� tego wyra�enia stanowi sum� sko�czonego szeregu geometrycznego. Oczywi�cie warto�� takiej sumy
b�dzie mniejsza lub r�wna od sumy niesko�czonej. Mamy wi�c:
$$||\varphi_{n+k}-\varphi_{n}||\leq\left(\sum_{i=0}^{\infty}\lambda^{i}\right)\lambda^{n}||\varphi_1-\varphi_0||.$$
Korzystaj�c z wzoru na sum� szeregu geometrycznego niesko�czonego, mamy:
$$||\varphi_{n+k}-\varphi_{n}||\leq\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}||\varphi_1-\varphi_0||.$$
Ze wzgl�du na to, i� $\lambda\in[0,1)$, mamy\footnote{Korzystamy tu z faktu, �e $\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}$ mo�e by� dowolnie ma�e
je�li $n$ b�dzie odpowiednio du�e.}:
$$\forall_{\epsilon>0}\exists_{N}\forall_{n>N}\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}||\varphi_1-\varphi_0||\leq\epsilon.$$
A st�d dostajemy od razu warunek Cauchy'ego dla ci�gu $\{\varphi_{n}\}$:
$$\forall_{\epsilon>0}\exists_{N}\forall_{n>N}\forall_{k>0}\
||\varphi_{n+k}-\varphi_{n}||\leq\epsilon.$$

Przestrze� $D$ to domkni�ty podzbi�r przestrzeni Banacha, wi�c
$\{\varphi_{n}\}$ jest zbie�ny. Niech $\bar{x}$ b�dzie granic� $\{\varphi_n\}$
(oczywi�cie $\bar{x}\in D$).

Poka�emy teraz, �e $F\bar{x}=\bar{x}$. Z definicji $\{\varphi_{n}\}$ mamy:
$\varphi_{n+1}=F(\varphi_{n})$. Ponadto wiemy, �e operator $F$ spe�nia
warunek Lipschitza.
Mo�emy wi�c napisa�:
$$\lim_{n\to\infty}\varphi_{n+1}=\lim_{n\to\infty}F(\varphi_{n})=F(\lim_{n\to\infty}\varphi_{n})$$
czyli rzeczywi�cie $\bar{x}=F(\bar{x})$.

Teraz poka�emy, �e
$||\varphi_{n}-\bar{x}||\leq\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}||\varphi_0-F(\varphi_0)||$.
Oczywi�cie zachodzi:
$$\lim_{k\to\infty}||\varphi_{n+k}-\varphi_{n}||=||\bar{x}-\varphi_{n}||,$$
oraz: $$\forall_{k\in\mathbb{N}}||\varphi_{n+k}-\varphi_{n}||\leq\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}||\varphi_1-\varphi_0||.$$
Mamy wi�c:
$$||\bar{x}-\varphi_{n}||\leq\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}||\varphi_1-\varphi_0||=\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}||F(\varphi_0)-\varphi_0||.$$
A to oczywi�cie daje:
$$||\varphi_{n}-\bar{x}||\leq\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}||\varphi_0-F(\varphi_0)||.$$

Pozosta�o jedynie pokaza�, �e $\bar{x}$ jest jedynym rozwi�zaniem r�wnania $Fx=x$.
Za��my, wi�c �e $z$ jest rozwi�zaniem tego w�a�nie r�wnania. Poka�emy, �e
wtedy $z\equiv \bar{x}$. Mamy bowiem:
$$||\bar{x}-z||=||F\bar{x}-Fz||\leq\lambda||\bar{x}-z||$$
$$(1-\lambda)||\bar{x}-z||\leq 0$$
No a skoro $\lambda\in[0,1)$, to $||\bar{x}-z||=0$, czyli $\bar{x}\equiv z$. \end{proof}

\section{Twierdzenie Picarda}

W ramach wyk�adu podano dwa alternatywne dowody tego twierdzenia. My ograniczymy
si� tylko do jednego, zdaniem autor�w, �atwiejszego (a na pewno znacznie kr�tszego).


\begin{tw}[Picarda -- globalne]
Za��my, �e $f\colon[a,b]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest ci�g�a,
oraz istnieje $L>0$, takie, �e:
$\forall_{t\in[a,b]; x,y\in\mathbb{R}}|f(t,x)-f(t,y)|\leq L|x-y|.$
Wtedy istnieje dok�adnie jedno rozwi�zanie zagadnienia $(PC)$. Jest ono
okre�lone na $[a,b]$.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Definiujemy $X$ - przestrze� funkcji ci�g�ych
$[a,b]\to\mathbb{R}$ z norm� to�sam� normie jednostajnej zbie�no�ci\footnote{Norma $||.||_{0}$
nazywana jest norm� jednostajnej zbie�no�ci, ze wzgl�du na to, �e je�li ,,co�'' jest zbie�ne
w tej normie, to jest to zbie�no�� jednostajna.}.
Przestrze� $X$ z t� norm�, jest przestrzeni� Banacha.
\item Definiujemy operator $F$ w przestrzeni $X$.
\item Pokazujemy, �e spe�nione s� za�o�enia twierdzenia Banacha.
\item Ka�dy punkt sta�y $F$ jest rozwi�zaniem rozwa�anego $(PC)$ -- z twierdzenia
Banacha wiemy, �e jest dok�adnie jeden punkt sta�y, czyli dok�adnie jedno rozwi�zanie.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
\begin{enumerate}
\item Niech $X:=C([a,b],\mathbb{R})$. Zdefiniujmy norm�:
$$||x||=\sup_{t\in[a,b]}|x(t)|e^{-2L|t-t_0|},\ L>0,\ x\in X.$$
Taka norma jest to�sama z norm� zbie�no�ci jednostajnej $||x||_0=\sup_{t}|x(t)|$,
poniewa�:
$$||x||\leq||x||_0\leq||x||\underbrace{e^{2L|b-a|}}_{=:C}.$$
Oczywi�cie $C>1$. Mamy wi�c:
$$||x_{n}-x||\geq\frac{1}{C}||x_{n}-x||_0.$$
St�d wiadomo, �e je�eli ,,co�'' jest zbie�ne do zera w sensie normy
$||.||$, to r�wnie� tak jest w sensie normy$||.||_0$.
Oczywi�cie $X$ z norm� $||.||$ jest przestrzeni� Banacha.

\item Definiujemy operator $F\colon X\to X$ dany wzorem:
$$(Fx)(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,x(s))ds.$$

\item Poka�emy, �e spe�nione s� za�o�enia twierdzenia Banacha o punkcie
  sta�ym. To znaczy, �e istnieje takie $\lambda\in[0,1)$, �e $||Fx-Fy||\leq \lambda||x-y||$.
  $$||Fy-Fx||=\sup_{t}|(Fx)(t)-(Fy)(t)|e^{-2L|t-t_0|}=$$
  $$=\sup_{t}\left|\int_{t_0}^{t}(f(s,x(s))-f(s,y(s)))ds\right|e^{-2L|t-t_0|}\leq$$
  $$\leq L\sup_{t}\left|\int_{t_0}^{t}|x(s)-y(s)|ds\right|e^{-2L|t-t_0|}=$$
  $$=L\sup_{t}\left|\int_{t_0}^{t}|x(s)-y(s)|e^{2L|s-t_0|}e^{-2L|s-t_0|}ds\right|e^{-2L|t-t_0|}\leq$$
  $$\leq L||x-y||\cdot\left|\int_{t_0}^{t}e^{2L|s-t_0|}ds\cdot e^{-2L|t-t_0|}\right|\leq$$
  $$\leq L||x-y||\frac{1}{2L}(e^{2L|t-t_0|}-e^0)e^{-2L|t-t_0|}\leq$$
  $$\leq\frac{1}{2}||x-y||(1-e^{-2L|t-t_0|})\leq\frac{1}{2}||x-y||.$$

  Mamy wi�c: $||Fx-Fy||\leq\frac{1}{2}||x-y||$.

  Korzystamy z twierdzenia Banacha. Wiemy, �e istnieje dok�adnie jeden $\bar{x}$
  taki, �e $\bar{x}=F\bar{x}$. Oczywi�cie $\bar{x}$ jest rozwi�zaniem $(PC)$.
  Inne rozwi�zania $(PC)$ nie istniej�.

\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{uwaga}
W dowodzie twierdzenia Picarda, korzystamy z twierdzenia Banacha o punkcie sta�ym.
Twierdzenie to daje nam oszacowanie, o kt�re mo�na rozszerzy� tre�� twierdzenia Picarda.
Dow�d takiego, rozszerzonego twierdzenia Picarda pomijamy. Na podstawie zawartych tu
informacji mo�na go jednak do�� �atwo zbudowa�.
\end{uwaga}

\begin{tw}[Picarda -- lokalne]
Niech $f\colon D\to\mathbb{R}$, b�dzie funkcj� ci�g��, gdzie
$D=[t_0-\delta,t_0+\delta]\times[x_0-r,x_0+r]$;
$\forall_{(t,x)\in D}|f(t,x)|\ \leq M$; spe�niony jest warunek Lipschitza:
$\exists_{L>0}\forall_{(t,x),(t,y)\in D}|f(t,x)-f(t,y)|\leq L|x-y|.$
Wtedy istnieje dok�adnie jedno rozwi�zanie $(PC)$ okre�lone na
$[t_0-\alpha,t_0+\alpha]$, dla $\alpha=min\{\delta,\frac{r}{M}\}$.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Definiujemy funkcj� rozszerzon� $\tilde{f}$ dla kt�rej mo�na
  b�dzie stosowa� twierdzenie globalne.
\item Poka�emy, �e $\tilde{f}$ jest ,,dobra'' -- spe�nia warunek
  Lipschitza i jest ograniczona.
\item Stosujemy twierdzenie globalne i pokazujemy, �e otrzymane rozwi�zanie
jest dobre tak�e dla $(PC)$.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
\begin{enumerate}
\item Zdefiniujmy funkcj� $\tilde{f}\colon [t_{0}-\delta,t_{0}+\delta]\times\mathbb{R}$,
dla kt�rej zastosujemy globalne tw. Picarda:
$$\tilde{f}(t,x)=\left\{
\begin{array}{ll}
f(t,x)     &\textrm{dla } |x-x_0|\leq r, \\
f(t,x_0+r) &\textrm{dla } x>x_0+r, \\
f(t,x_0-r) &\textrm{dla } x<x_0-r.
\end{array}\right.
\qquad t\in[t_0-\alpha,t_0+\alpha]$$

\item Poka�emy, �e $\tilde{f}$ spe�nia warunek Lipschitza. Ze wzgl�du na spos�b
definicji funkcji $\tilde{f}$ musimy rozpatrywa� r�ne przypadki (zale�nie od
tego w jakich przedzia�ach mieszcz� si� $x$ i $y$).

\begin{enumerate}[(a)]
  \item Gdy $x,y\in[x_0-r,x_0+r]$, to:
    $$|\tilde{f}(t,x)-\tilde{f}(t,y)|=|f(t,x)-f(t,y)|\leq L|x-y|.$$

  \item Gdy $x>x_0+r$, $|y-x_0|\leq r$, to:
    $$|\tilde{f}(t,x)-\tilde{f}(t,y)|=|f(t,x_0+r)-f(t,y)|\leq L|x_0+r-y|\leq L|x-y|.$$

  \item Gdy $x<x_0-r$, $|y-x_0|\leq r$, to:
    $$|\tilde{f}(t,x)-\tilde{f}(t,y)|=|f(t,x_0-r)-f(t,y)|\leq L|x_0-r-y|\leq L|x-y|.$$

  \item Gdy $x>x_0+r$, $y<x_0-r$, to:
    $$|\tilde{f}(t,x)-\tilde{f}(t,y)|=|f(t,x_0+r)-f(t,x_0-r)|\leq L2r\leq L|x-y|.$$

  \item Gdy $x,y>x_0+r$, lub $x,y<x_0-r$, to:
    $$|\tilde{f}(t,x)-\tilde{f}(t,y)|=|f(t,x_0\pm r)-f(t,x_0\pm r)|\leq
  L|x_0\pm r-x_0\mp r|=0\leq L|x-y|.$$
\end{enumerate}

Funkcja $\tilde{f}$ ze wzgl�du na to jak jest zdefiniowana, jest
ograniczona i to przez t� sam� sta�� $M$, co funkcja $f$.

\item Zgodnie z globalnym twierdzeniem Picarda zagadnienie:
  $$(\tilde{PC})\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(y)=\tilde{f}(t,x(t)) \\
  x(t_0)=x_0\end{array}\right.$$
  ma rozwi�zanie $z$ okre�lone na przedziale $[t_0-\alpha,t_0+\alpha]$.
  Oczywi�cie zachodzi: $$|z^{\prime}(t)|=|\tilde{f}(t,z(t))|\leq M.$$
  Z twierdzenia o warto�ci �redniej\footnote{Twierdzenie by�o podane na wyk�adzie ,,Analiza Matematyczna I''.}:
  $$|z(t)-x_0|=|z^{\prime}(s)||t-t_0|=|\tilde{f}(s,z(s))||t-t_0|\leq M|t-t_0|\leq M\alpha.$$
  Mamy wi�c: $|z(t)-x_{0}|<M\alpha$, czyli $-M\alpha < z(t)-x_{0} < M\alpha$, a
  co za tymi idzie: $-M\alpha + x_{0} < z(t) < M\alpha + x_{0}$. Ze wzgl�du na
  definicj� $\alpha$ zachodzi:
  $$\forall_{t\in [t_{0}-\alpha,t_{0}+\alpha]} z(t)\in[x_{0}-r,x_{0}+r]$$
  albo
  $$\forall_{t\in [t_{0}-\alpha,t_{0}+\alpha]} z(t)\in[x_{0}-M\delta,x_{0}+M\delta].$$
  Wynika st�d, zgodnie z definicj� funkcji $\tilde{f}$, �e:
  $\tilde{f}(t,z(t))=f(t,z(t))$. No a skoro tak, to r�wnie� na pewno zachodzi:
  $z^{\prime}(t)=f(t,z(t))$. Czyli $z$ jest rozwi�zaniem $(PC)$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{uwaga}
Dodatkowo mo�na udowodni�, �e rozwi�zanie z lokalnego twierdzenia Picarda jest
granic� ci�gu $\{\varphi_{n}\}$, okre�lonego wzorem $\varphi_0 \equiv x_{0}$,
$\varphi_{n+1}=x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,\varphi_{n}(s))ds$.
\end{uwaga}

\begin{tw}[Picarda -- uog�lnione]
Je�eli $f\colon[a,b]\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$, jest ci�g�a,
$t_{0}\in[a,b]$, $x_{0}\in\mathbb{R}^{n}$, oraz:
$$\exists_{L>0}\forall_{t\in[a,b]; x,y\in\mathbb{R}^{n}}||f(t,x)-f(t,y)||\leq L||x-y||,$$
gdzie $||.||$ jest dowoln� norm� w $\mathbb{R}^{n}$.
Wtedy $(PC)$ ma dok�adnie jedno rozwi�zanie okre�lone na $[a,b]$.
\end{tw}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}] Analogicznie jak globalne twierdzenia Picarda.
W odpowiednich miejscach\footnote{Odpowiednie miejsca to takie,
w kt�rych w wej�ciowym dowodzie odnosili�my si� do liczb, kt�re tutaj staj� si�
wektorami.} zast�pujemy warto�� bezwzgl�dn� przez norm�.

\begin{uwaga}
W nast�pnych rozdzia�ach cz�sto b�dziemy si� odwo�ywa� (czasem niejawnie) do twierdzenia
Picarda dla funkcji okre�lonych na $\mathbb{R}^{n}$.
\end{uwaga}

\chapter{R�wnanie liniowe wy�szego rz�du}

\section{Wprowadzenie}

Rozwa�a� b�dziemy zagadnienia postaci:
$$\left\{\begin{array}{l}
y^{(n)}(t)+p_{1}(t)y^{(n-1)}(t)+\ldots+p_{n-1}(t)y^{\prime}(t)+p_{n}(t)y(t)=b(t)\\y(t_0)=x_{01},\
y^{\prime}(t_0)=x_{02},\ldots,y^{(n-1)}(t_0)=x_{0n}\end{array}\right.$$
Takie zagadnienie sprowadza si� do uk�adu r�wna� liniowych\footnote{Wi�cej o
uk�adach r�wna� liniowych mo�na przeczyta� w nast�pnym rozdziale.} i ma dok�adnie
jedno rozwi�zanie\footnote{Uk�ad r�wna� liniowych ma, przy spe�nieniu odpowiednich
za�o�e�, jedno rozwi�zanie. Wynika to z udowodnionych wcze�niej twierdze� Peano i
Picarda, kt�re mo�na uog�lni� dla r�wna� wy�szego rz�du.}.

U�ywa� b�dziemy oznacze�: $(LJ)$ -- r�wnanie liniowe jednorodne (tzn. $b(t)\equiv 0$),
$(LN)$ -- r�wnanie liniowe niejednorodne.

\subsection{Sprowadzanie r�wnania liniowego do uk�adu r�wna�}

Poka�emy teraz, jak z r�wnania liniowego wy�szego rz�du, otrzyma� uk�ad r�wna�
liniowych (rz�du pierwszego).

Niech:
$$\left\{\begin{array}{l}
x_{1}(t)=y(t) \\
x_{2}(t)=y^{\prime}(t) \\
x_{3}(t)=y''(t) \\
\vdots \\
x_{n}(t)=y^{(n-1)}(t)
\end{array}\right.$$
No ale wtedy mo�emy napisa� r�wnie�:
$$\left\{\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime}(t)=x_{2}(t)\\
x_{2}^{\prime}(t)=x_{3}(t)\\
\vdots\\
x_{n-1}^{\prime}(t)=x_{n}(t)\\
x_{n}^{\prime}(t)=y_{n}(t)=b(t)-p_{n}(t)x_{1}(t)-p_{n-1}(t)x_{2}(t)-\cdots-p_{1}(t)x_{n}(t)\\
x_{j}(t_0)=x_{0j},\mathrm{ dla}\ j=1,\ldots,n
\end{array}\right.$$
Jest to uk�ad r�wna� liniowych, kt�ry mo�na zapisa� w postaci macierzowej:
$$\underbrace{\left[\begin{array}{c}x_{1}^{\prime}\\x_{2}^{\prime}\\\vdots\\x_{n-1}^{\prime}\\x_{n}^{\prime}\end{array}\right]}_{x^{\prime}(t)}=
\underbrace{\left[\begin{array}{ccccc}0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\&&\vdots&&\\0&\cdots&\cdots&0&1\\-p_{n}&-p_{n-1}&\cdots&\cdots&-p_{1}\end{array}\right]}_{A(t)}\cdot
\underbrace{\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n-1}\\x_{n}\end{array}\right]}_{x(t)}+
\underbrace{\left[\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\0\\b(t)\end{array}\right]}_{b(t)}$$
Czyli jest to macierzowe r�wnanie postaci:
$$x^{\prime}(t) = A(t)x(t)+b(t).$$

\subsection{Liniowa niezale�no�� funkcji}

\begin{definicja}[uk�ad funkcji liniowo niezale�nych]
Uk�ad funkcji $\{\varphi_{1},\cdots,\varphi_{n}\}$ nazywamy liniowo
niezale�nym, je�eli:
$$\sum_{j=1}^{n}c_{j}\varphi_{j}(t)\equiv0\Rightarrow\forall_{j}c_{j}=0$$
\end{definicja}

\begin{fakt}
Je�eli $\exists_{1\leq k\leq n}\ \varphi_{k}=\sum_{j\ne
k}\alpha_{j}\varphi_{j}$, to $\{\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}\}$ jest
liniowo zale�ny.
\end{fakt}

\begin{definicja}[macierz Wro�skiego i wro�skian]
Macierz� Wro�skiego uk�adu funkcji $\{\varphi_{1},\cdots,\varphi_{n}\}$
nazywamy macierz:
$$\Phi[\varphi_{1},\cdots,\varphi_{n}](t)=
\left[\begin{array}{ccc}\varphi_{1}(t)&\cdots&\varphi_{n}(t)\\\varphi_{1}^{\prime}(t)&\cdots&\varphi_{n}^{\prime}(t)\\&\vdots&\\\varphi_{1}^{(n-1)}(t)&\cdots&\varphi_{n}^{(n-1)}(t)\end{array}\right]$$
Natomiast $\det\Phi(t)$ nazywamy wyznacznikiem Wro�skiego lub wro�skianem.
Wro�skian b�dziemy cz�sto oznacza� przez $W(t)$ lub $W(\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n})(t)$.
\end{definicja}

\begin{tw}
Je�eli uk�ad funkcji $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}$ jest liniowo
zale�ny to ich wro�skian jest r�wny zero dla  wszystkich argument�w z dziedziny.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Z za�o�enia, �e funkcje $\varphi_{i}$ s� liniowo zale�ne
  otrzymujemy uk�ad r�wna�.
\item Na mocy twierdzenia Cramera uk�ad ten musi mie� wyznacznik g��wny r�wny
zero.
\item Wyznacznik ten okazuje si� wro�skianem.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Skoro $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}$ s� liniowo zale�ne, to
$$\sum_{j=1}^{n}c_{j}\varphi_{j}(t)=0.$$
R�niczkujemy powy�sz� r�wno�� $n-1$ razy i otrzymujemy uk�ad r�wna�:
$$\left\{\begin{array}{l}\sum_{j=1}^{n}c_{j}\varphi_{j}(t)=0\\\sum_{j=1}^{n}c_{j}\varphi_{j}^{\prime}(t)=0\\\vdots\\\sum_{j=1}^{n}c_{j}\varphi_{j}^{(n-1)}(t)=0\end{array}\right.$$
Uk�ad ten ma na pewno zerowe rozwi�zanie, ale z tego �e
$\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}$ s� zale�ne wiemy te�, �e musi mie�
rozwi�zanie niezerowe, a co za tym idzie tych rozwi�za� musi by�
niesko�czenie wiele. Wi�c $W(\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n})(t)=0$. \end{proof}


\section{R�wnanie liniowe jednorodne}

\begin{tw}
Za��my, �e wsp�czynniki w r�wnaniu liniowym jednorodnym $(LJ)$ s�
ci�g�e na $[a,b]$, oraz $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}$ stanowi� liniowo
niezale�ny uk�ad rozwi�za� $(LJ)$. Wtedy wro�skian
$W(\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n})(t)\neq0$ dla wszystkich $t\in[a,b]$.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Zak�adamy, �e wro�skian zeruje si� w jakim� $t_{0}\in[a,b]$.
\item Budujemy now� funkcj� $\varphi$ b�d�c� niezerow� kombinacj�
  liniow� funkcji $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}$. Zak�adamy, �e sta�e
  $c_1,c_2,\ldots,c_{n}$ s� jakim� niezerowym rozwi�zaniem uk�adu
  $\Phi(t_{0})c=\theta$. Ze wzgl�du na to, �e $\det\Phi(t_{0})=0$ istnieje
  niesko�czenie wiele takich uk�ad�w sta�ych.
\item Taka funkcja $\varphi$ jest r�wnie� rozwi�zaniem $(LJ)$.
\item Zauwa�amy, �e $\forall_{i=0,\ldots,n-1}\ \varphi^{(i)}(t_{0})=0$. %% odstep?
\item Wynika st�d, �e $\varphi\equiv0$ co jest sprzeczne z poprzedni�
  definicj� $\varphi$ (tzn. $c_{j}=0$ dla $j=1,2,\ldots,n$, a za�o�yli�my, �e
  tak nie jest)
\item Wnioskujemy, �e wro�skian nie mo�e si� zerowa�.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Za��my przeciwnie, �e $\exists_{t_0\in[a,b]}\ W(t_0)=0$, przy spe�nionych
za�o�eniach twierdzenia.
Rozwa�my funkcj� $\varphi=\sum_{j=1}^{n}c_{j}\varphi_{j}$, gdzie $c=[c_1,c_2,\ldots,c_n]$
jest
jakim� niezerowym rozwi�zaniem $\Phi(t_{0})c=\theta$. Ze wzgl�du na to, �e
$W(t_0)=0$, na pewno da si� znale�� takie rozwi�zanie. Funkcja $\varphi$
jest oczywi�cie rozwi�zaniem\footnote{Liniowa kombinacja rozwi�za� jest na pewno
rozwi�zaniem -- ze wzgl�du na liniowo�� pochodnej i jednorodno�� r�wnania.} $(LJ)$. Skoro jednak $\Phi(t_0)c=\theta$, to
mamy:
$$\left\{\begin{array}{l}
c_1\varphi_{1}(t_0)+c_2\varphi_{2}(t_0)+\ldots+c_{n}\varphi_{n}(t_0)=0\\
c_1\varphi_{1}^{\prime}(t_0)+c_2\varphi_{2}^{\prime}(t_0)+\ldots+c_{n}\varphi_{n}^{\prime}(t_0)=0\\
\vdots \\
c_1\varphi_{1}^{(n-1)}(t_0)+c_2\varphi_{2}^{(n-1)}(t_0)+\ldots+c_{n}\varphi_{n}^{(n-1)}(t_0)=0
\end{array}\right.$$
czyli: $\varphi(t_0)=\varphi^{\prime}(t_0)=\ldots=\varphi^{n-1}(t_0)=0$. No ale z
jednoznaczno�ci rozwi�zania $(LJ),(WP)$ wiemy, �e tylko jedna funkcja
$\varphi\equiv0$ spe�nia taki warunek. To �wiadczy�oby o tym, �e
$\forall_{j}c_{j}=0$, co jest sprzeczne z poprzednim za�o�eniem, a w
rezultacie jest to sprzeczne z tym, �e $W(t_0)=0$ (okazuje si� bowiem, �e
musi istnie� dok�adnie jedno rozwi�zanie $\Phi(t_0)c=\theta$, czyli
rozwi�zanie zerowe: $c=\theta$). \end{proof}

\begin{definicja}[uk�ad fundamentalny rozwi�za� $(LJ)$]
Uk�ad liniowo niezale�nych rozwi�za� $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}$
r�wnania $(LJ)$ nazywamy uk�adem fundamentalnym rozwi�za� r�wnania $(LJ)$.
\end{definicja}

\begin{tw}[o istnieniu uk�adu fundamentalnego]
Je�eli wsp�czynniki $p_{j}\ (j=1,2,\ldots,n)$ s� funkcjami ci�g�ymi, to
istnieje uk�ad fundamentalny rozwi�za� r�wnania $(LJ)$.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Rozpatrujemy r�wnanie $(LJ)$ z $n$ - r�nymi warunkami
  pocz�tkowymi.
\item Ka�dy takie zagadnienie ma dok�adnie $1$ rozwi�zanie
\item Okazuje si�, �e rozwi�zania te s� liniowo niezale�ne (ze wzgl�du
na dob�r warunk�w pocz�tkowych).
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Rozpatrzmy r�wnanie $(LJ)$:
$$y^{(n)}(t)+p_{1}(t)y^{(n-1)}(t)+\ldots+p_{n-1}(t)y^{\prime}(t)+p_{n}(t)y(t)=0$$
i $n$ r�nych warunk�w Cauchy'ego postaci:
$$y(t_0)=0,\ldots,y^{(j-1)}(t_0)=0,y^{(j)}(t_0)=1,y^{(j+1)}(t_0)=0,\ldots,y^{(n-1)}(t_0)=0.$$
dla $j=0,1,\cdots,n$.
Z jednoznaczno�ci rozwi�zania zagadnienia Cauchy'ego wiemy,
�e r�wnanie z ka�dym z tych warunk�w ma dok�adnie jedno rozwi�zanie.

Niech wi�c funkcje $\varphi_{0},\ldots,\varphi_{n-1}$ b�d�
tymi rozwi�zaniami. W�wczas:
$$W(t_{0})=\left|\begin{array}{ccccc} 1&0&0&\cdots&0 \\ 0&1&0&\cdots&0 \\
0&0&1&\cdots&0 \\ \vdots&&&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&1\end{array}\right|=1$$
Czyli $\exists_{t_0}\ W(t_0)\ne0\ \Rightarrow$ uk�ad
$\varphi_{0},\ldots,\varphi_{n-1}$ jest uk�adem rozwi�za� $(LJ)$ liniowo
niezale�nym, czyli jest to uk�ad fundamentalny. \end{proof}

\begin{uwaga}
R�nych uk�ad�w fundamentalnych (dla danego r�wnania) jest tyle ile macierzy kwadratowych
nieosobliwych\footnote{Macierz kwadratowa
nieosobliwa, to macierz o wyznaczniku r�nym od zera. Takich macierzy jest
$\infty$ wiele.}.
\end{uwaga}

\begin{tw}
Je�eli wro�skian uk�adu funkcji $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}\in
C^{n}[a,b]$ jest r�ny od zera na $[a,b]$, to istnieje dok�adnie jedno
r�wnanie $(LJ)$ dla kt�rego uk�ad ten jest uk�adem
fundamentalnym.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Szukamy $p_{j}(t)$ takich, by by�y to wsp�czynniki r�wnania
  $(LJ)$ kt�rego rozwi�zaniami s� $\varphi_{1},\cdots,\varphi_{n}$.
\item Otrzymujemy uk�ad r�wna� z niewiadomymi $p_{j}$, kt�ry ma
  dok�adnie jedno rozwi�zanie.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Szukamy wsp�czynnik�w $p_{j}(t)$ r�wnania $(LJ)$.
Dla $i=1,\ldots,n$ spe�nione jest:
$$p_{1}(t)\varphi^{(n-1)}_{i}(t)+\ldots+p_{n-1}(t)\varphi^{\prime}_{i}(t)+p_{n}(t)\varphi_{i}(t)=-\varphi^{(n)}_{i}(t).$$
Definiujemy w ten spos�b uk�ad r�wna�, gdzie niewiadomymi s�
$p_{j}(t)$. Macierz g��wna tego uk�adu ma posta�:
$$\left[\begin{array}{cccc}\varphi_{1}(t)&\varphi_{1}^{\prime}(t)&\cdots&\varphi_{1}^{n-1}(t)
  \\\varphi_{2}(t)&\varphi_{2}^{\prime}(t)&\cdots&\varphi_{2}^{n-1}(t) \\
  \vdots&&&\vdots \\ \varphi_{n}(t)&\varphi_{n}^{\prime}(t)&\cdots&\varphi_{n}^{n-1}(t)
  \end{array}\right]$$
Jest to transponowana macierz Wro�skiego uk�adu funkcji $\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_n$.
Wiemy te�, �e wro�skian jest r�ny od zera, dla ka�dego $t$. Poniewa� wyznacznik
macierzy r�wny jest wyznacznikowi macierzy transponowanej, to, nasz uk�ad r�wna�
ma dok�adnie jedno rozwi�zanie. Wyb�r wsp�czynnik�w $p_{j}$ jest wi�c jednoznaczny. \end{proof}

\begin{lemat}[pochodna iloczynu $n$-funkcji]
Je�li funkcje $f_1,f_2,\ldots,f_n$ s� r�niczkowalne, to zachodzi wz�r:
$$(f_1\cdot f_2\cdot\ldots\cdot
f_{n})'=\sum_{j=1}^{n}f_1f_2\ldots f_{j-1}f_{j}^{\prime}f_{j+1}\ldots f_{i}.$$
\end{lemat}

\begin{fakt}[pochodna wyznacznika macierzy]
Niech b�dzie dana macierz kwadratowa $A(t)=[a_{ij}(t)]_{i,j=1,\ldots,n}$. W�wczas:
$$\frac{d}{dt}\left|\begin{array}{ccc} a_{11}(t)&\cdots&a_{1n}(t) \\ \vdots & & \vdots \\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right|=\sum_{k=1}^{n}W_{k}(t),$$
gdzie $W_{k}(t)$ oznacza wyznacznik macierzy, kt�ra powsta�a z macierzy $A$
przez zast�pienie $k$-tego wiersza jego pochodnymi.
\end{fakt}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Twierdzenia wynika wprost z zastosowania wzoru na pochodn� iloczynu, dla wyznacznika
rozpisanego z definicji\footnote{Stosujemy tu jedn� z mo�liwych definicji
wyznacznika macierzy. Wi�cej na ten temat mo�na przeczyta� w notatkach do wyk�adu
z Algebry Liniowej.}:
$$W^{\prime}(t)=\frac{d}{dt}(\sum_{p}(-1)^{|p|}a_{1p(1)}a_{2p(2)}\ldots a_{np(n)})=$$
$$=\sum_{k=1}^{n}\sum_{p}(-1)^{|p|}a_{1p(1)}\ldots
a_{k-1p(k-1)}a^{\prime}_{kp(k)}a_{k+1p(k+1)}\cdots a_{np(n)}=\sum_{k=1}^{n}W_{k}(t)$$
\end{proof}

\begin{tw}[Liouville'a dla r�wnania liniowego]
Je�eli $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}$ stanowi uk�ad rozwi�za� r�wnania
$(LJ)$, to:
$$W(t)=W(t_{0})e^{-\int_{t_0}^{t}p_{1}(s)ds}$$
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Liczymy $W^{\prime}(t)$.
\item Budujemy r�wnanie to�same z $(LJ)$.
\item Por�wnujemy odpowiednie wsp�czynniki (a w�a�ciwie tylko jeden z nich)
co daje nam tez�.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Niech $W(t)$ b�dzie wro�skianem dla $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}$. Jego
pochodna ma posta�:
$$W^{\prime}(t)=\sum_{k=1}^{n}W_{k}(t)=W_{n}(t),$$
gdzie $W_{n}(t)$ to wyznacznik macierzy Wro�skiego w kt�rej ostatni wiersz
zosta� zast�piony przez pochodne tego wiersza\footnote{R�wno�� taka zachodzi,
poniewa� dla $j=1,2,\ldots,n-1$ wyznacznik $W_{j}=0$. Dzieje si� tak ze wzgl�du
na definicj� macierzy Wro�skiego oraz w�asno�� wyznacznika. Wyznacznik r�wny jest
zero m.in. wtedy gdy w macierzy s� dwa takie same wiersze, a taka sytuacji zachodzi
w�a�nie w tym przypadku.}.
Rozpatrzmy teraz r�wnanie:
$$(*)\quad\frac{1}{W(t)}\left|\begin{array}{cccc}\varphi_{1}(t)&\cdots&\varphi_{n}(t) & z(t)
  \\\varphi_{1}^{\prime}(t)&\cdots&\varphi_{n}^{\prime}(t) & z^{\prime}(t) \\
  \vdots&&&\vdots \\ \varphi_{1}^{(n)}(t)&\cdots&\varphi_{n}^{(n)}(t)&z^{(n)}(t)
  \end{array}\right|=0$$
,,Rozwijaj�c'' wyznacznik z powy�szego r�wnania wzgl�dem ostatniej kolumny,
zgodnie z wzorem Laplace'a otrzymujemy:
$$\frac{1}{W(t)}\left((-1)^{2(n+1)}W(t)z^{(n)}(t)+(-1)^{2(n+1)-1}W^{\prime}(t)z^{(n-1)}(t)+\ldots\right)=0.$$
Co mo�na zapisa� pro�ciej:
$$z^{(n)}(t)-\frac{W^{\prime}(t)}{W(t)}z^{(n-1)}+\cdots=0$$
Ponadto zauwa�my, �e funkcje $\varphi_{1},\cdots,\varphi_{n}$ spe�niaj�
r�wnanie $(*)$. Wobec tego r�wnanie $(LJ)$ i $(*)$ s� tymi samymi
r�wnaniami, a co za tym idzie odpowiednie wsp�czynniki musz� by� takie
same. W szczeg�lno�ci mamy:
$$p_{1}(t)=-\frac{W^{\prime}(t)}{W(t)}$$
Ca�kuj�c obustronnie mamy:
$$-\int_{t_{0}}^{t}p_1(s)ds=\ln|W(t)|-\ln|W(t_{0})|$$
$$\ln\left|\frac{W(t)}{W(t_{0})}\right|=-\int_{t_{0}}^{t}p_1(s)ds$$
No a st�d mamy:
$$\left|\frac{W(t)}{W(t_{0})}\right|=e^{-\int_{t_{0}}^{t}p_1(s)ds}.$$
Warto�� bezwzgl�dn� mo�emy opu�ci�, bo $W(t)$ ma sta�y znak\footnote{Ma sta�y
znak bo si� nie zeruje, jest ci�g�y i okre�lony na przedziale $[a,b]$.} wobec czego
iloraz $\frac{W(t)}{W(t_{0})}$ jest zawsze dodatni. Czyli:
$$W(t)=W(t_{0})e^{-\int_{t_0}^{t}p_{1}(s)ds}.$$
\end{proof}

\section{R�wnanie liniowe niejednorodne}

\begin{tw}[posta� og�lnego rozwi�zania $(LN)$]
Je�eli $\psi$ jest rozwi�zaniem $(LN)$, a $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}$
uk�adem fundamentalnym $(LJ)$, to ka�de rozwi�zanie $(LN)$ wyra�a si�
jednoznacznie wzorem:
$$(1)\quad\left(\sum_{j=1}^{n}c_{j}\varphi_{j}(t)\right)+\psi(t).$$
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Sprawdzamy, czy wz�r (1) opisuje rozwi�zanie, tzn. czy spe�nia
  $(LN)$ -- wstawiamy do r�wnania.
\item Sprawdzamy, czy dowolne rozwi�zanie $(LN)$ daje si� zapisa�
  wzorem $(1)$ -- tzn. wyznaczamy sta�e $c_{i}$ dla danego dowolnego rozwi�zania.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Wstawmy wi�c wz�r $(1)$ do r�wnania $(LN)$, aby przekona� si�, i� istotnie jest
to rozwi�zanie:
$$\sum_{j=0}^{n}p_{(n-j)}(t)\left(\sum_{k=1}^{n}c_{k}\varphi_{k}^{(j)}(t)+\psi^{(j)}(t)\right)=\underbrace{\sum_{k=1}^{n}c_{k}\sum_{j=0}^{n}p_{(m-j)}(t)\varphi_{k}^{j}(t)}_{=0}+$$
$$+\sum_{j=0}^{n}p_{(n-j)}(t)\psi^{(j)}(t)=f(t)$$
Pierwszy sk�adnik sumy w drugiej r�wno�ci zeruje si�, ze wzgl�du na to �e funkcje
$\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}$ stanowi� uk�ad fundamentalny $(LJ)$. Rzeczywi�cie
wi�c, ka�da funkcja daj�ca wyrazi� si� wzorem $(1)$ jest rozwi�zaniem $(LN)$.

Poka�emy teraz, �e ka�de rozwi�zanie $(LN)$ daje si� na pewno wyrazi� wzorem $(1)$.
Niech $z$ b�dzie pewnym rozwi�zaniem $(LN)$. Dobierzemy sta�e $c_{i}$ tak
aby wz�r $(1)$ wyra�a� $z$.

Skoro wz�r $(1)$ ma wyra�a� funkcj� $z$ to mo�emy napisa�:
$$\sum_{j=1}^{n}c_{j}\varphi_{j}(t)=z(t)-\psi(t).$$
To daje nam jedno r�wnanie, gdzie niewiadomymi s� wsp�czynniki $c_j$.
Potrzebujemy wi�c jeszcze $n-1$ r�wna�. Otrzymujemy je przez kolejne r�niczkowanie
tego r�wnania:
$$(*)\qquad\left\{
\begin{array}{l}
\sum_{j=1}^{n}c_{j}\varphi_{j}(t)=z(t)-\psi(t) \\
\sum_{j=1}^{n}c_{j}\varphi_{j}^{\prime}(t)=z^{\prime}(t)-\psi^{\prime}(t) \\
\vdots \\
\sum_{j=1}^{n}c_{j}\varphi_{j}^{(n-1)}(t)=z^{(n-1)}(t)-\psi^{(n-1)}(t)
\end{array}
\right.$$
Teraz $(*)$ opisuje $c_{j}$ - ale w zale�no�ci od $t$. A chcemy, aby $c_{j}$
by�y sta�ymi. Ustalmy wi�c $t=t_0$.

Niech:
$$\chi(t)=\sum_{j=i}^{n}c_{j}\varphi_{j}(t)+\psi(t),$$
gdzie $c_{j}$ to rozwi�zania $(*)$ dla ustalonego $t=t_0$. Wystarczy pokaza�,
�e $z(t)\equiv\chi(t)$.

Wiemy, �e$z$ i $\chi$ to na pewno rozwi�zania $(LN)$\footnote{Mo�na to �atwo pokaza�,
wstawiaj�c $\chi$ do wzoru.}. Skorzystajmy wi�c z warunk�w pocz�tkowych:
$$\chi(t_{0})=z(t_0),\ \chi^{\prime}(t_0)=z^{\prime}(t_0),\cdots,\
\chi^{(n-1)}(t_0)=z^{(n-1)}(t_0)\qquad(\mathrm{z\ definicji\ }\chi).$$
Z jednoznaczno�ci rozwi�zania wiemy, �e tylko jedna funkcja mo�e
spe�nia� takie ustalone warunki, wi�c na pewno $\chi\equiv z$, czyli wiemy ju�,
�e dla ka�dego, dowolnie wybranego rozwi�zania $z$, jeste�my w stanie wybra� takie
sta�e $c_j$, �eby wz�r $(1)$ wyra�a� to wybrane rozwi�zanie $z$. Czyli ka�dego
rozwi�zanie wyra�a si� wzorem $(1)$. \end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Metoda uzmienniania sta�ej}
Opiszemy tutaj metod� rozwi�zywania r�wna� liniowych niejednorodnych, kt�ra
jest skuteczna o ile znamy uk�ad fundamentalny rozwi�za� r�wnania jednorodnego.

Niech $\varphi_{1},\cdots,\varphi_{n}$ stanowi� uk�ad fundamentalny
$(LJ)$. Chcemy znale�� jedn� funkcj� $\psi(t)$, b�d�c� rozwi�zaniem $(LN)$,
bo zgodnie z ostatnim twierdzeniem, to wystarczy aby zna� wszystkie rozwi�zania $(LN)$.
B�dziemy szuka� funkcji
postaci:
$$\psi(t)=\sum_{j=1}^{n}c_{j}(t)\varphi_{j}(t).$$
Potrzebujemy oczywi�cie znale�� odpowiedni� ilo�� zale�no�ci mi�dzy $\psi$ a $c_j$.
Wej�ciowe r�wnanie b�dziemy wi�c kolejno r�niczkowa�:
$$\psi^{\prime}(t)=\sum_{j=1}^{n}(c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}(t)+c_{j}(t)\varphi_{j}^{\prime}(t)).$$
Istnieje bardzo wiele uk�ad�w $c_{j}$ kt�re spe�niaj� powy�sze r�wnania.
Nam potrzebny jest tylko jeden,dodajemy wi�c dodatkowy warunek:
$$\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}(t)=0,$$
i ponownie r�niczkujemy:
$$\psi''(t)=\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{\prime}(t)+\sum_{j=1}^{n}c_{j}(t)\varphi_{j}''(t).$$
Podobnie jak poprzednio dodajmy kolejny warunek:
$$\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{\prime}(t)=0.$$
Post�powanie to powtarzamy kolejna, a� do otrzymania r�wnania:
$$\psi^{(n-1)}(t)=\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{(n-2)}(t)+\sum_{j=1}^{n}c_{j}(t)\varphi_{j}^{(n-1)}(t),$$
z warunkiem:
$$\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{(n-2)}(t)=0.$$
Mamy wi�c:
$$\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{(k)}(t)=0,\quad\mathrm{dla\ }k=0,1,\dots,n-2$$
oraz:
$$\psi^{(k)}(t)=\sum_{j=1}^{n}c_{j}(t)\varphi_{j}^{(k)}(t),\quad\mathrm{dla\ }k=0,1,\dots,n-1.$$
Ostatnie r�wnanie (dla $k=n-1$) jeszcze raz r�niczkujemy:
$$\psi^{(n)}(t)=\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{(n-1)}(t)+\sum_{j=1}^{n}c_{j}(t)\varphi_{j}^{(n)}(t).$$

Wstawimy teraz $\psi$ do r�wnania $(LN)$, kt�re mo�emy zapisa� w postaci:
$$\underbrace{\sum_{\mu=0}^{n}p_{\mu}\psi^{(n-\mu)}(t)}_{L}=\underbrace{f(t)}_{P},\quad
p_{0}(t)=1.$$

Skorzystajmy teraz z warunk�w kt�re otrzymali�my przez kolejne r�niczkowanie $\psi$
oraz dodawanie kolejnych warunk�w:
$$L=\underbrace{\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{(n-1)}(t)+\sum_{j=1}^{n}c_{j}(t)\varphi_{j}^{(n)}(t)}_{p_0\cdot\psi^{(n)}}+\sum_{\mu=1}^{n}p_{\mu}\underbrace{\sum_{j=1}^{n}c_{j}(t)\varphi_{j}^{(n-\mu)}(t)}_{\psi^{(n-\mu)}}=$$
$$=\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{(n-1)}(t)+\sum_{\mu=0}^{n}p_{\mu}\sum_{j=1}^{n}c_{j}(t)\varphi_{j}^{(n-\mu)}(t)=$$
$$=\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{(n-1)}(t)+\underbrace{\sum_{j=1}^{n}c_{j}(t)\sum_{\mu=0}^{n}p_{\mu}\varphi_{j}^{(n-\mu)}(t)}_{=0,\ \textrm{bo $\varphi_{j}$ rozw. $(LJ)$}}=$$
$$=\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{(n-1)}(t)=^{(*)}f(t)=P$$
R�wno�� $(*)$ wynika z tego, �e $\psi$ ma spe�nia� r�wnanie $(LN)$. Otrzymali�my
wi�c dodatkowy warunek:
$$\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{(n-1)}(t)=f(t).$$

Wystarczy wi�c teraz rozwi�za�:
$$\left\{
\begin{array}{l}
\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{(k)}(t)=0,\quad\mathrm{dla\ }k=0,1,\ldots,n-2 \\
\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{\prime}(t)\varphi_{j}^{(n-1)}(t)=f(t)
\end{array}\right.$$

Jest to uk�ad r�wna�, kt�ry mo�na zapisa� w postaci macierzowej:
$$\phi(\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n})(t)\left[\begin{array}{c}c_{1}^{\prime}(t)\\\vdots\\c_{n}^{\prime}(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\\vdots\\0\\f(t)\end{array}\right].$$
Zgodnie z definicj� $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}$, wyznacznik macierzy tego
uk�adu nie zeruje si�, czyli istnieje rozwi�zanie, kt�re mo�na otrzyma� stosuj�c
wzory Cramera. W ten spos�b wyliczamy $c_j^{\prime}$, a nast�pnie ca�kuj�c otrzymujemy
szukane $c_j$. \end{proof}

W praktyce stosowanie tej metody sprowadza si� oczywi�cie jedynie do rozwi�zania
otrzymanego uk�adu r�wna� i sca�kowaniu otrzymanych $c_j^{\prime}$.
Prezentowanego tutaj rozumowania nie trzeba powtarza�
przy rozwi�zywaniu zada� -- jest to raczej uzasadnienie poprawno�ci i skuteczno�ci
metody.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{R�wnania liniowe o sta�ych wsp�czynnikach}
Rozwa�a� b�dziemy tutaj r�wnanie postaci:
$$\sum_{\mu=0}^{n}p_{\mu}z^{(n-\mu)}(t)=0,\ \ p_{0}=1,$$
kt�re b�dziemy oznacza� cz�sto przez $(LS)$.

\subsection{Wielomian charakterystyczny}
Jedynym z podstawowych poj�� jakie wprowadzimy w tym dziale, jest poj�cie
wielomianu charakterystycznego r�wnania. Zamiast podawa� formaln� definicj�,
tego wielomianu, poka�emy intuicyjny sens tego poj�cia.

Sprawd�my dla jakich $\lambda$ funkcje $e^{\lambda t}$ s� rozwi�zaniami r�wnania.
Wstawiamy $e^{\lambda t}$ do r�wnania:
$$\sum_{\mu=0}^{n}p_{\mu}\lambda^{n-\mu}e^{\lambda t}=0.$$
Obie strony tego r�wnania mo�emy teraz podzieli� przez $e^{\lambda t}$, otrzymujemy:
$$\sum_{\mu=0}^{n}p_{\mu}\lambda^{n-\mu}=0.$$
W�a�nie taki wielomian b�dziemy nazywa� wielomianem charakterystycznym r�wnania
$(LS)$.

Po przeprowadzeniu tego prostego rozumowania, fakt kt�ry podamy ni�ej, jest
oczywisty.

\begin{fakt}
Je�eli $\lambda$ jest pierwiastkiem wielomianu
$p(z)=\sum_{\mu=0}^{n}p_{\mu}z^{n-\mu}$, to $e^{\lambda t}$ jest rozwi�zaniem
$(LS)$.
\end{fakt}

\begin{tw}[uk�ad fundamentalny r�wnania $(LS)$]
Je�eli $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$ s� pierwiastkami wielomianu
charakterystycznego $p$, to uk�ad $e^{\lambda_{1}t},\dots,e^{\lambda_{n}t}$
stanowi uk�ad fundamentalny rozwi�za� r�wnania $(LS)$, je�eli
$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$ s� parami r�ne ($\forall_{i\ne j}\lambda_{i}\ne\lambda_{j}$).
\end{tw}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Wiemy ju�, z poprzedniego faktu, �e rozpatrywane funkcje s� rzeczywi�cie rozwi�zaniami
r�wnania $(LS)$. Wystarczy pokaza� ich liniow� niezale�no��. Poka�emy �e wro�skian
tych funkcji nie zeruje si� dla $t=0$. A skoro jest to wro�skian uk�adu rozwi�za�,
kt�ry nie zeruje si� w jednym punkcie, to na pewno nie zeruje si� w �adnym punkcie.

Policzmy wi�c wro�skian uk�adu funkcji $e^{\lambda_{1}t},\dots,e^{\lambda_{n}t}$ dla $t=0$:
$$W(0)=\left|
\begin{array}{cccc}
1&1&\cdots&1\\
\lambda_{1}&\lambda_{2}&\cdots&\lambda_{n}\\
\lambda_{1}^{2}&\lambda_{2}^{2}&\cdots&\lambda_{n}^{2}\\
\vdots&&&\vdots\\
\lambda_{1}^{n-1}&\lambda_{2}^{n-1}&\cdots&\lambda_{n}^{n-1}
\end{array}\right|=\prod_{j>i}(\lambda_{j}-\lambda_{i})\ne0$$
Okazuje si� wi�c, �e funkcje $e^{\lambda_{1}t},\dots,e^{\lambda_{n}t}$ to liniowo
niezale�ny uk�ad rozwi�za� - czyli uk�ad fundamentalny. \end{proof}

\begin{lemat}[wz�r Leibnitza]
Niech funkcje $f,g$ b�d� $k$-krotnie r�niczkowalne, wtedy:
$$(f(t)g(t))^{(k)}=\sum_{j=0}^{k}{k\choose j}f^{(j)}(t)g^{(k-j)}(t).$$
\end{lemat}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}] mo�na znale�� w notatkach do wyk�adu ,,Analiza I''.

\begin{tw}
Je�eli $\lambda$ jest $m$-krotnym pierwiastkiem wielomianu
charakterystycznego, to funkcja $t^{s}e^{\lambda t}$ jest rozwi�zaniem
r�wnania $(LS)$ dla $s=0,1,\dots,m-1$.
\end{tw}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Korzystaj�c z wzoru Leibnitza, policzymy pochodne $(t^{s}e^{\lambda t})^{(k)}$ dla $k=1,2,\ldots,n$,
aby nast�pnie wstawi� je do r�wnania $(LS)$:
$$(t^{s}e^{\lambda t})^{(k)}=
\sum_{j=0}^{k}{k\choose j}(t^{s})^{(k)}\lambda^{k-j}e^{\lambda t}=
\sum_{j=0}^{k}{k\choose j}\frac{s!}{(s-k)!}t^{s-k}\lambda^{k-j}e^{\lambda t}$$
Ostatnia r�wno�� wynika z faktu, �e:
$$(*)\quad(t^{s})^{(k)}=s(s-1)\cdots(s-k+1)t^{s-k}=\frac{s!}{(s-k)!}t^{s-k}.$$
Wstawiamy teraz $t^{s}e^{\lambda t}$ do r�wnania $(LS)$:
$$\sum_{\mu=0}^{n}p_{\mu}(t^{s}e^{\lambda t})^{(n-\mu)}=
\sum_{\mu=0}^{n}p_{\mu}\sum_{j=0}^{n-\mu}{n-\mu\choose j}\frac{s!}{(s-j)!}t^{s-j}\lambda^{n-\mu-j}e^{\lambda t}.$$
Zamie�my kolejno�� sumowania w wyra�eniu z prawej strony:
$$\sum_{j=0}^{n}\sum_{\mu=0}^{n-j}p_{\mu}{n-\mu \choose j}\frac{s!}{(s-j)!}t^{s-j}\lambda^{n-\mu-j}e^{\lambda t}.$$
Wyra�enie $e^{\lambda t}$ w og�le nie zale�y od indeks�w sumowania mo�na wi�c wyci�gn�� je na pocz�tek,
natomiast to co nie zale�y od $\mu$ wyci�gamy przed drug� sum�:
$$e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{n}\frac{s!}{(s-j)!}t^{s-j}\sum_{\mu=0}^{n-j}p_{\mu}{n-\mu \choose j}\lambda^{n-\mu-j}.$$
Rozpisuj�c symbol Newtona, mo�na wyci�gn�� $\frac{1}{j!}$ przed drug� sum�:
$$e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{n}\frac{s!}{(s-j)!}t^{s-j}\frac{1}{j!}\sum_{\mu=0}^{n-j}p_{\mu}\frac{(n-\mu)!}{(n-\mu-j)!}\lambda^{n-\mu-j}.$$
Wyra�enie za pierwsz� sum� mo�na zapisa� pro�ciej, jako symbol Newtona ${s\choose j}$.
W wyra�eniu znajduj�cym si� za drugim znakiem sumowania korzystamy z wzoru $(*)$:
$$e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{n}{s \choose j}t^{s-j}\sum_{\mu=0}^{n-j}p_{\mu}\frac{d^{j}}{d\lambda^{j}}(\lambda^{n-\mu}).$$
Symbol $\frac{d^{j}}{d\lambda^{j}}$ mo�emy wyci�gn�� przed drug� sum�:
$$e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{n}{s \choose j}t^{s-j}\frac{d^{j}}{d\lambda^{j}}\sum_{\mu=0}^{n-j}p_{\mu}\lambda^{n-\mu}.$$
Zauwa�my, �e zachodzi:
$$\frac{d^{j}(\lambda^{n-\mu})}{d\lambda^{j}}=0,\ \mathrm{dla}\ \mu>n-j.$$
Mo�emy wi�c rozszerzy� zakres drugiej sumy (bo warto�� si� nie zmieni):
$$e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{n}{s \choose j}t^{s-j}\frac{d^{j}}{d\lambda^{j}}\sum_{\mu=0}^{n}p_{\mu}\lambda^{n-\mu}.$$
Druga suma przedstawia teraz wielomian charakterystyczny. Czyli otrzymujemy tam $j$-t�
pochodn� tego wielomianu:
$$e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{n}{s \choose j}t^{s-j}p^{(j)}(\lambda).$$
Oczywi�cie zachodzi:
$${s \choose j}=0,\ \mathrm{dla}\ s<j.$$
Mo�emy wi�c ograniczy� zakres sumy:
$$e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{s}{s \choose j}t^{s-j}p^{(j)}(\lambda)=0.$$
Ostatnia r�wno�� wynika z w�asno�ci krotno�ci pierwiastka wielomianu\footnote{W�asno�� ta m�wi,
�e je�li jaka� liczba $\lambda$, jest pierwiastkiem dowolnego wielomianu $W$, krotno�ci $m$, to na pewno
$W^{(j)}(\lambda)=0$ dla $j=0,1,\ldots,m-1$, oraz $W^{(m)}(\lambda)\neq 0$. W�asno�� t�
mo�na przyj�� wr�cz za definicj� krotno�ci pierwiastka wielomianu.}.
Wszystkie pochodne $p^{(j)}(\lambda)$ dla $j=0,1,\ldots,s$ r�wne s� zero, tak
wi�c ca�e wyra�enie r�wne jest zero. Czyli rozpatrywana funkcja rzeczywi�cie
spe�nia r�wnanie $(LS)$. \end{proof}

\begin{uwaga}
Je�eli $\lambda$ jest $m$-krotnym pierwiastkiem
wielomianu charakterystycznego $p$, to $Q(t)e^{\lambda t}$ jest rozwi�zaniem
$(LS)$ dla dowolnego wielomianu $Q$, takiego, �e $\mathrm{st.\ }Q<m$.
\end{uwaga}

\begin{tw}
Je�eli $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}$ s� pierwiastkami r�wnania
charakterystycznego $p$, $\lambda_{i}\ne\lambda_{j}$, dla $i\ne j$, oraz
$\lambda_{j}$ ma krotno�� $m_{j}$, to
$\sum_{j=1}^{r}Q_{j}(t)e^{\lambda_{j}t}$ jest rozwi�zaniem og�lnym r�wnania
$(LS)$ gdzie $Q_{j}$ jest wielomianem takim, �e $\mathrm{st.\ }Q_{j}<m_{j}$.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
Poka�emy, �e uk�ad funkcji $\{t^{s}e^{\lambda_{j}t}\}_{s=0,1,\dots,m_{j}-1}^{j=1,\dots,r}$
jest liniowo niezale�ny. Zbudujemy kombinacj� liniow� i wprost, poprzez
r�niczkowanie, dojdziemy do tego i� musia�a to by� kombinacja zerowa.

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Za��my, �e:
$$\sum_{j=1}^{r}Q_{j}(t)e^{\lambda_{j}t}\equiv 0,$$
gdzie $\mathrm{st.\ }Q_{j}=m_{j}-1$. Podzielmy teraz obie strony przez $e^{\lambda_{1}t}$:
$$(*) Q_{1}(t)+\sum_{j=2}^{r}Q_{j}(t)e^{(\lambda_{j}-\lambda_{1})t}\equiv 0.$$

Zauwa�my, �e dla dowolnego wielomianu $Q$ i $\lambda\neq 0$ zachodzi:
$(Q(t)e^{\lambda t})^{\prime}=P(t)e^{\lambda t}$, gdzie
$\mathrm{st.\ }P=\mathrm{st.\ }Q$, poniewa�:
$$(Q(t)e^{\lambda t})^{\prime}=Q^{\prime}(t)e^{\lambda t}+\lambda Qe^{\lambda t}=e^{\lambda t}\underbrace{(\lambda Q+Q^{\prime}(t))}_{P(t)}.$$

Wi�c je�li zr�niczkujemy nasz� r�wno�� $(*)$, $m_{1}$-krotnie, otrzymamy:
$$\sum_{j=2}^{r}Q_{j,1}(t)e^{(\lambda_{j}-\lambda_{1})t}\equiv0,$$
gdzie $\mathrm{st.\ }Q_{j,1}=\mathrm{st.\ }Q_{j}$.

Rozumowanie powtarzamy:
$$Q_{2,1}+\sum_{j=3}^{r}Q_{j,1}(t)e^{(\lambda_{j}-\lambda_{2})t}\equiv0\
/\frac{d^{m_2}}{dt^{m_2}}$$
$$\sum_{j=3}^{r}Q_{j,2}(t)e^{(\lambda_{j}-\lambda_{2})t}\equiv 0,$$
a� do momentu gdy otrzymamy:
$$Q_{r,r-1}(t)e^{(\lambda_{r}-\lambda_{r-1})t}\equiv 0.$$
St�d mamy $Q_{r,r-1}(t)\equiv0$, a skoro
$\mathrm{st.\ }Q_{r,r-1}=\mathrm{st.\ }Q_{r}$, to $Q_{r}(t)\equiv0$.

Wej�ciowa r�wno�� wobec tego ma posta�:
$$\sum_{j=1}^{r-1}Q_{j}(t)e^{\lambda_{j}t}\equiv0.$$
Mo�emy teraz powt�rzy� ca�e rozumowanie od pocz�tku dla otrzymanej r�wno�ci
i pokaza�, �e $Q_{r-1}(t)\equiv 0$ itd. Reasumuj�c okazuje si�, �e
$\forall_{j=0,\dots,r-1}Q_{j}\equiv0$, czyli uk�ad jest liniowo niezale�ny. \end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Uk�ad r�wna� liniowych}

\section{Wprowadzenie}
O uk�adach r�wna� by�a ju� mowa w rozdziale poprzednim, oraz przy okazji twierdze�
Peano i Picarda. Jak wiemy, uk�ady r�wna� s� �ci�le zwi�zane z r�wnaniami liniowymi
wy�szego rz�du. Znamy te� warunki jakie musz� by� spe�nione aby istnia�o rozwi�zanie
uk�adu, oraz aby by�o jednoznaczne.

W rozdziale tym powiemy co� wi�cej na temat rozwi�zania uk�adu oraz szczeg�lnie
na temat jego postaci. Podamy r�wnie� praktyczn� metod� rozwi�zywania uk�ad�w
r�wna� o sta�ych wsp�czynnikach.

\subsection{Oznaczenia}
Aby oznaczy� uk�ad r�wna� b�dziemy stosowa� nast�puj�ce zapisy:
$$\begin{array}{ll}
(UN) & x^{\prime}(t) = A(t)x(t) + b(t),\\
(UJ) & x^{\prime}(t) = A(t)x(t),
\end{array}$$
kt�re nale�y rozumie� w nast�puj�cy spos�b:
$$(UN)
\left[
\begin{array}{c}
x^{\prime}_1(t) \\
x^{\prime}_2(t) \\
\vdots \\
x^{\prime}_n(t)
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
a_{11}(t) & \ldots & a_{n1}(t) \\
a_{12}(t) & \ldots & a_{n2}(t) \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_{1n}(t) & \ldots & a_{nn}(t)
\end{array}\right] \cdot
\left[
\begin{array}{c}
x_1(t) \\
x_2(t) \\
\vdots \\
x_n(t)
\end{array}\right] +
\left[
\begin{array}{c}
b_1(t) \\
b_2(t) \\
\vdots \\
b_n(t)
\end{array}\right]$$

\section{Uk�ad jednorodny}

\subsection{Uk�ad fundamentalny rozwi�za�}

\begin{fakt}
Je�eli $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{k}$ s� rozwi�zaniami $(UJ)$, to
$c_1\varphi_1+\ldots+c_k\varphi_{k}$ jest rozwi�zaniem $(UJ)$ dla dowolnych
sta�ych $c_1,c_2,\ldots,c_k$.
\end{fakt}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}] oczywisty, wynika z liniowo�ci pochodnej. Oczywi�cie rozwi�zania
o kt�rych mowa w fakcie, s� funkcjami wektorowymi.

\begin{definicja}[macierz Wr��skiego i wro�skian funkcji wielowymiarowych]
Za��my, �e mamy dany uk�ad funkcji $\varphi_1,\ldots,\varphi_{n}\colon [a,b]\to\mathbb{R}^{n}$. Wtedy macierz:
$$\phi(\varphi_1,\ldots,\varphi_{n})(t) =
\left[\begin{array}{ccc}
\varphi_{11}(t) & \cdots & \varphi_{n1}(t) \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
\varphi_{1n}(t) & \cdots & \varphi_{nn}(t)
\end{array}\right] =
\left[\varphi_1(t),\varphi_2(t),\ldots,\varphi_n(t)\right]$$
nazywamy macierz� Wro�skiego, a jej wyznacznik $\det\phi(t)=W(t)$ wro�skianem
uk�adu funkcji $\varphi_1,\ldots,\varphi_{n}$.
\end{definicja}

\begin{definicja}[uk�ad fundamentalny i macierz fundamentalna]
Uk�ad rozwi�za� $(UJ)$: $\varphi_1,\ldots,\varphi_{n}$ nazywamy uk�adem fundamentalnym
je�li $\det\phi(t)\not\equiv 0$. Macierz $\left[\varphi_1,\ldots,\varphi_{n}\right]_{n\times n}$
nazywamy wtedy macierz� fundamentaln�.
\end{definicja}

\begin{tw}[Liouville'a dla funkcji wielowymiarowych]
Niech $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ b�dzie uk�adem fundamentalnym rozwi�za� $(UJ)$,
wtedy: $$W(t)=W(t_0)e^{\int_{t_0}^{t}\mathrm{tr} A(s)ds}.$$
Gdzie $\mathrm{tr}A(s)$ (�lad macierzy) to suma wyraz�w na przek�tnej macierzy $A(s)$,
czyli $\mathrm{tr}A(s) = \sum_{i=0}^{n}a_{ii}(s)$.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
Ca�y dow�d opiera si� na wzorze na pochodn� wyznacznika (podanym w rozdziale
o r�wnaniach liniowych wy�szego rz�du) oraz na w�asno�ciach wyznacznika.

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Wiemy, i� zachodzi wz�r $(W(t))^{\prime} = \sum_{j=1}^{n}W_j(t)$, gdzie:
$$W_j =
\left|
\begin{array}{ccc}
\varphi_{1,1}(t) & \ldots & \varphi_{n,1}(t) \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
\varphi_{1,j-1}(t) & \ldots & \varphi_{n,j-1}(t) \\
\varphi_{1,j}^{\prime}(t) & \ldots & \varphi_{n,j}^{\prime}(t) \\
\varphi_{1,j+1}(t) & \ldots & \varphi_{n,+1}(t) \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
\varphi_{1,n}(t) & \ldots & \varphi_{n,n}(t)
\end{array}
\right|$$
Z tego, �e $\varphi_{j}$ jest rozwi�zaniem $(UJ)$ mo�emy zapisa�, �e:
$$\varphi_{k}^{\prime}(t) = A(t)\varphi_{k}(t),$$
a st�d:
$$\varphi_{k,j}^{\prime}(t)=\sum_{\mu=1}^{n}a_{j\mu}(t)\varphi_{k,\mu}(t).$$
Wobec tego $j$-ty wiersz z $W_j$ mo�na zapisa� tak $(*)$:
$$\left[\varphi_{1,j}^{\prime}(t),\ldots,\varphi_{n,j}^{\prime}(t)\right]=
\left[\sum_{\mu=1}^{n}a_{j\mu}(t)\varphi_{1\mu}(t),\ldots,\sum_{\mu=1}^{n}a_{j\mu}(t)\varphi_{n\mu}(t)\right]=$$
$$=\sum_{\mu=1}^{n}\left(a_{j\mu}(t)\left[\varphi_{1\mu}(t),\ldots,\varphi_{n\mu}(t)\right]\right).$$
Ze wzgl�du na to, �e dodanie do jednego wiersza macierzy, innego wiersza pomno�onego
przez sta��, lub jak w tym przypadku, przez funkcj� ci�g��, nie zmienia wyznacznika,
mo�emy napisa�\footnote{Z wzor�w kt�re podali�my w $(*)$ wida�, �e $j$-ty wiesz
to suma sk�adaj�ca si� z innych wierszy pomno�onych przez funkcj�, oraz wiersza
$\left[a_{jj}\varphi_{1j}(t),\ldots,a_{jj}\varphi_{nj}(t)\right]$. Tak jak powiedzieli�my,
inne sk�adniki sumy nie wp�ywaj� na wyznacznik, wi�c wszystko co trzeba zrobi�,
to wy��czy� $a_{jj}(t)$ i otrzymujemy wro�skian.}:
$$W_j(t)=a_{jj}W(t)$$
No a skoro $(W(t))^{\prime}=\sum_{j=1}^{n}W_j(t)$:
$$(W(t))^{\prime} = \sum_{j=1}^{n}a_{jj}W(t) = \mathrm{tr} A(t)\cdot W(t).$$
Mamy wi�c:
$$\frac{W^{\prime}(t)}{W(t)}=\mathrm{tr} A(t),$$
co poprzez obustronne ca�kowanie prowadzi do:
$$\int_{t_0}^{t}\frac{W^{\prime}(t)}{W(t)}dt=\int_{t_0}^{t}\mathrm{tr} A(t)dt.$$
A st�d dostajemy od razu:
$$\ln|W(t)| - \ln|W(t_0)| = \int_{t_0}^{t}\mathrm{tr} A(t)dt,$$
czyli:
$$\left|\frac{W(t)}{W(t_0)}\right| = e^{\int_{t_0}^{t}\mathrm{tr} A(t)dt}.$$
Warto�� bezwzgl�dn� opuszczamy, bo wyra�enie ma sta�y znak. Dostajemy wi�c
tez� twierdzenia:
$$W(t)=W(t_0)e^{\int_{t_0}^{t}\mathrm{tr} A(t)dt}.\qedhere$$
\end{proof}

\subsection{Przestrze� rozwi�za� uk�adu jednorodnego}

\begin{tw}
Istnieje niesko�czenie wiele uk�ad�w fundamentalnych. Ka�dy z nich jest baz�
przestrzeni liniowej wszystkich rozwi�za� uk�adu $(UJ)$. Ponadto dla ka�dego
rozwi�zania uk�adu jednorodnego $y$, istnieje $C\in\mathbb{R}^{n}$ takie, �e
$y(t)=\phi(t)\cdot C$.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Pokazujemy istnienie niesko�czenie wielu uk�ad�w fundamentalnych.
\item Pokazujemy wz�r $y(t)=\phi(t)\cdot C$ -- wybieramy dowolne rozwi�zanie
i dobieramy dla niego odpowiednie $C$.
\item Na podstawie poprzednich punkt�w stwierdzamy, i� rzeczywi�cie uk�ad
fundamentalny tworzy baz�.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Wiemy\footnote{Wynika to z wcze�niej podanego faktu.}, �e rozwi�zania tworz�
podprzestrze� liniow� funkcji ci�g�ych $[a,b]\to\mathbb{R}^{n}$. Mo�na wi�c
m�wi� o bazie tej przestrzeni.

Poka�emy najpierw istnienie niesko�czenie wielu r�nych uk�ad�w fundamentalnych.
Niech $\phi(t) = \left[\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t)\right]$, oraz niech
$t_0\in [a,b]$, oraz niech $\varphi_j(t)$ b�dzie rozwi�zaniem $(UJ)$ takim, �e
$\varphi(t_0)=c_j \in\mathbb{R}^{n}$. Niech wektory $c_j$ b�d� takie, �e
$(*)\quad\det\left[c_1,c_2,\ldots,c_n\right]\neq 0$. Wtedy oczywi�cie $\det\phi(t_0)\neq 0$,
a co za tym idzie, funkcje $\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t)$ tworz� uk�ad
fundamentalny. Uk�ad�w fundamentalnych jest wi�c tyle ile sposob�w doboru wektor�w
$c_j\in\mathbb{R}^{n}$ aby spe�niony by� warunek $(*)$, czyli niesko�czenie wiele.

Poka�emy teraz poprawno�� wzoru $y(t)=\phi(t)\cdot C$. Niech $\{\varphi_j\}_{j=1,\ldots,n}$
b�dzie uk�adem fundamentalnym rozwi�za� $(UJ)$, a $y$ dowolnym rozwi�zaniem
tego� uk�adu. Ze wzgl�du na $W(t_0)\neq 0$, mo�na odwr�ci� macierz $\phi(t_0)$,
czyli mo�na napisa�: $(**)\ C:=\phi^{-1}(t_0)y(t_0)$. Zdefiniujmy teraz
funkcj� $z$, kt�ra niech b�dzie dana wzorem $z(t)=\phi(t)C$. Oczywi�cie $z$ jest
rozwi�zaniem uk�adu $(UJ)$ oraz na pewno $z(t_0)=y(t_0)$. Z jednoznaczno�ci
rozwi�zania $(UJ)$ wiemy, �e $y\equiv z$. Tak wi�c, dob�r sta�ej $(**)$ jest dobry
dla rozwi�zania $y$.

Z powy�szego wiemy, �e dowolne rozwi�zanie jest pewn� kombinacj� liniow� element�w
uk�adu fundamentalnego, oraz dowolna kombinacja liniowa element�w uk�adu fundamentalnego
to rozwi�zanie. Wobec tego uk�ad fundamentalny jest baz� przestrzeni rozwi�za�.
\end{proof}


\section{Uk�ad niejednorodny}
W tym podrozdziale b�dziemy chcieli poda� i udowodni� twierdzenia o istnieniu,
jednoznaczno�ci i postaci rozwi�zania uk�adu niejednorodnego. Zanim jednak to
zrobimy, musimy wprowadzi� nowe poj�cie -- norm� macierzy.

\subsection{Wiadomo�ci pomocnicze -- norma macierzy}

\begin{definicja}[norma macierzy]
Niech $A$ b�dzie macierz� kwadratow� $n\times n$. W�wczas norm�
macierzy nazywamy liczb�: $\sup_{||x||=1}||Ax||$ i oznaczamy $||A||$.
\end{definicja}

Jak wida� wi�c, norma macierzy definiowana jest przez dan� norm�
wektora\footnote{No bo oczywi�cie $Ax$ jest wektorem, czyli $||Ax||$
oznacza norm� wektorow�.}.

\begin{uwaga}[interpretacja normy macierzy]
Wz�r podany w definicji normy macierzy, mo�na zapisa� r�wnowa�nie na jeden
z podanych ni�ej sposob�w:
$$||A||=\sup_{||x||=1}||Ax|| = \sup_{||x||\neq 0}\frac{||Ax||}{||x||} = \inf\{\lambda>0\colon\forall_{x}||Ax||\leq\lambda||x||\}.$$
Norma macierzy m�wi o maksymalnym wyd�u�eniu wektora po przekszta�ceniu przez
macierz $A$ w sensie danej normy wektorowej $||.||$
\end{uwaga}

\begin{fakt}[wzory na normy macierzy]
Poni�ej zebrano wzory na norm� macierzy dla r�nych norm wektorowych.
\begin{itemize}
\item Dla normy wektorowej danej wzorem: $||x||=\sum_{j=1}^{n}|x_j|$, norma
macierzy $A$ dana jest wzorem:
$$||A||_{1} = \max_{j=1,\ldots,n}\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|.$$
\item Dla normy wektorowej danej wzorem: $||x||=\max_{j}|x_j|$, norma
macierzy $A$ dana jest wzorem:
$$||A||_{\infty} = \max_{i=1,\ldots,n}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|.$$
\end{itemize}
\end{fakt}

\subsection{Istnienie i jednoznaczno�� rozwi�zania}

\begin{tw}
Je�li wyrazy macierzy $A$ i $b$ s� funkcjami ci�g�ymi na $[a,b]$, to
dla ka�dego $t_0\in [a,b]$, $x_0\in\mathbb{R}^{n}$ istnieje dok�adnie
jedno rozwi�zanie $(UN)$ spe�niaj�ce warunek $x(t_0)=x_0$.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
B�dziemy korzysta� z globalnego tw.~Picarda. Poka�emy wi�c, i� s� spe�nione
za�o�enia tego� twierdzenia, tj. �e funkcja $f(t,x) = A(t)x+b(t)$ jest ci�g�a
i spe�nia warunek Lipschitza wzgl�dem drugiej wsp�rz�dnej.

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Praw� stron� $(UN)$ definiujemy funkcj� $f(t,x)=A(t)x+b(t)$. Poka�emy,
�e takie $f$ spe�nia za�o�enia tw.~Picarda, tzn. �e jest ci�g�a i spe�nia
warunek Lipschitza wzgl�dem drugiej wsp�rz�dnej.

Wiemy z za�o�e� naszego twierdzenia, �e funkcja $f$ jest ci�g�a wzgl�dem pierwszej
zmiennej. Wystarczy pokaza�, �e jest spe�niony warunek Lipschitza, gdy�
je�li jest, to funkcja $f$ b�dzie r�wnie� ci�g�a.

Niech $t\in [a,b]$ oraz $x,y\in\mathbb{R}^{n}$. Wtedy:
$$||f(t,x)-f(t,y)||_{\infty} = || A(t)x+b(t)-A(t)y-b(t)||_{\infty} = $$
$$= ||A(t)x-A(t)y||_{\infty} \leq ||A(t)||_{\infty}||x-y||_{\infty}$$
Korzysta� b�dziemy z wzoru na norm� macierzy:
$$(*)\quad||A(t)||_{\infty}=\max_{i=1,\ldots,n}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}(t)|.$$
Z ci�g�o�ci funkcji $a_{ij}$ wiemy, �e:
$$\forall_{i}\exists_{L_{i}}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}(t)|\leq L_{i}.$$
No a zgodnie z $(*)$ mo�emy napisa�, �e:
$$||A(t)||_{\infty}\leq\max_{i=1,\ldots,n}L_{i}=:L.$$
Tak wi�c:
$$||f(t,x)-f(t,y)||_{\infty}\leq L||x-y||_{\infty}.$$
Wiemy wi�c, �e funkcja $f$ spe�nia za�o�enia tw.~Picarda, wobec czego
nasza teza jest prawdziwa. \end{proof}

\subsection{Posta� rozwi�zania}

\begin{tw}[rozwi�zanie og�lne $(UN)$]
Je�li $\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}$ stanowi� uk�ad fundamentalny rozwi�za�
$(UJ)$, $\psi$ jest dowolnym rozwi�zaniem $(UN)$, to:
$$\psi(t)+\sum_{j=1}^{n}c_j\varphi_j(t)=\psi(t)+\phi(t)C,$$
jest rozwi�zaniem og�lnym uk�adu niejednorodnego.
\end{tw}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
\begin{enumerate}
\item Funkcja dana wzorem $\psi(t)+\sum_{j=1}^{n}c_j\varphi_j(t)$ jest rozwi�zaniem
$(UN)$ -- aby to pokaza�, wystarczy wstawi� j� do uk�adu.
\item Trzeba wi�c pokaza� jeszcze, �e je�li mamy dowolne rozwi�zanie $y$ to da
si� je wyrazi� wzorem $\psi(t)+\sum_{j=1}^{n}c_j\varphi_j(t)$, czyli �e da si�
dobra� sta�e $c_j$. No ale, je�li $y$ jest rozwi�zaniem $(UN)$, to na pewno
funkcja $y-\psi$ jest rozwi�zaniem $(UJ)$, co �atwo mo�na pokaza�. Zgodnie z
podanym wcze�niej twierdzeniem $\exists_{C\in\mathbb{R}^{n}}$ takie, �e:
$$y-\psi = \phi(t)C.$$
Czyli jeste�my w stanie dobra� odpowiednie sta�e dla dowolnego rozwi�zania.
A to oznacza, �e wzorem podanym w naszym twierdzeniu da si� wyrazi� ka�de rozwi�zanie,
wobec czego teza jest rzeczywi�cie prawdziwa.
\end{enumerate}
\end{proof}

\section{Uk�ad o sta�ych wsp�czynnikach}

\subsection{Wprowadzenie}
Uk�ad o sta�ych wsp�czynnikach, jaki b�dziemy rozwa�a�, dany b�dzie wzorem
$x^{\prime}(t)=Ax(t)$, gdzie $A$ jest macierz� niezale�n� od $t$. W tym podrozdziale
b�dziemy d��yli do pokazania metody wyznaczania macierzy fundamentalnej takiego
uk�adu, oznaczanej $e^{tA}$. Zanim jednak przejdziemy do omawiania samej metody,
musimy zdefiniowa� kilka poj�� i poda� kilka fakt�w, aby wyja�ni� sens symbolu
$e^{tA}$.

Z rozwini�cia w szereg funkcji $e^{x}$, mo�emy napisa�, �e $e^{tA} = \sum_{j=0}^{\infty}\frac{t^{j}}{j!}A^{j}$.
W zapisie tym pojawia si� szereg macierzy. Zaczniemy wi�c od zdefiniowania
czym on jest, oraz co oznacza zbie�no�� takiego szeregu.

\subsection{Ci�gi i szeregi macierzy}

\begin{definicja}[zbie�ny ci�g macierzy]
Ci�g macierzy $\{A_{\mu}\}$ jest zbie�ny wtedy i tylko wtedy, gdy
$\lim_{\mu\to\infty}a_{ij,\mu}$ istnieje dla wszystkich $i,j$. Innymi s�owy
ci�g macierzy jest zbie�ny, wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbie�ny po wyrazach.
\end{definicja}

\begin{fakt}
Zachodzi wz�r:
$$\lim_{\mu\to\infty}A_{\mu}=A\Longleftrightarrow \lim_{\mu\to\infty}||A_{\mu}-A||=0.$$
\end{fakt}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}] pomijamy.

\begin{definicja}
Szereg macierzy $\sum_{\mu=0}^{\infty}B_{\mu}$ nazywamy zbie�nym, je�li istniej
granica:
$$\lim_{N\to\infty}\sum_{\mu=0}^{N}B_{\mu}.$$
\end{definicja}

\begin{definicja}[warunek Cauchy'ego dla ci�g�w macierzy]
M�wimy, ze ci�g macierzy $\{A_{\mu}\}$ spe�nia warunek Cauchy'ego, wtedy
i tylko wtedy, gdy:
$$\forall_{\epsilon>0}\exists_{N}\forall_{k,m>N}||A_{k}-A_{m}||<\epsilon.$$
\end{definicja}

\begin{fakt}\label{mat-cauchy}
Ci�g macierzy jest zbie�ny, wtedy i tylko wtedy, gdy spe�nia warunek Cauchy'ego.
\end{fakt}

\begin{tw}[zbie�no�� szregeu $e^{B}$]
Szereg $e^{B} = \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}B^{j}$ jest zbie�ny dla dowolnej
macierzy kwadratowej $B$.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:} Korzystamy ze zbie�no�ci szeregu. Czyli musimy pokaza�,
�e odpowiedni ci�g macierzy jest zbie�ny. Korzystamy z Faktu \ref{mat-cauchy} i
pokazujemy, �e ci�g ten spe�nia warunek Cauchy'ego.

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Aby szereg $e^{B}$ by� zbie�ny potrzeba i wystarcza, aby ci�g $\sum_{j=0}^{N}\frac{1}{j!}B^{j}$
spe�nia� warunek Cauchy'ego.

Niech $k<m$. Wtedy mamy:
$$||\sum_{j=0}^{k}\frac{1}{j!}B^{j} - \sum_{j=0}^{m}\frac{1}{j!}B^{j}|| =
||\sum_{j=k+1}^{m}\frac{1}{j!}B^{j}||.$$
Z nier�wno�ci tr�jk�ta, otrzymane wyra�enie mo�na oszacowa�, przez:
$$\leq \sum_{j=k+1}^{m}\frac{1}{j!}||B^{j}||\leq\sum_{j=k+1}^{m}\frac{1}{j!}||B||^{j}.$$
Otrzymane wyra�enie, mo�emy oszacowa� przez sum� niesko�czon�:
$$\leq \sum_{j=k+1}^{\infty}\frac{1}{j!}||B||^{j}.$$
Jest to reszta szeregu liczbowego $e^{||B||}$ i przy $k\to 0$ reszta ta
r�wnie� d��y do zera. Mo�emy wi�c odpowiednio ustali� $k$ i $m$ aby warto��
szacowanego wyra�enia by�a dowolnie ma�a. To daje nam warunek Cauchy'ego,
czyli szereg $e^{B}$ jest zbie�ny. \end{proof}

\begin{fakt}
Zachodzi wz�r:
$$\frac{d}{dt}e^{tA} = Ae^{tA} = e^{tA}A$$
\end{fakt}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
$$\frac{d}{dt}e^{tA} = \frac{d}{dt}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{t^{j}}{j!}A^{j} =$$
Mo�emy zamieni� kolejno�� sumy i pochodnej, ze wzgl�du na jednostajn� zbie�no��
szeregu\footnote{Co prawda nie pokazali�my tej jednostajnej zbie�no�ci, ale tak jest.}:
$$=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{d}{dt}\frac{t^{j}}{j!}A^{j} =
\sum_{j=0}^{\infty}\frac{t^{j-1}}{(j-1)!}A^{j}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{t^{i}}{i!}A^{i+1}.$$
Co z definicji r�wne jest:
$$= Ae^{tA} = e^{tA}A\qedhere$$
\end{proof}

\begin{wniosek}
Z powy�szych twierdze� i fakt�w wiemy ju�, �e:
\begin{itemize}
\item ka�da z kolumn macierzy $e^{tA}$ jest rozwi�zaniem uk�adu jednorodnego,
\item dla $t=0$ macierz $e^{tA}$ jest macierz� jednostkow�,
\item wyznacznik macierzy $e^{tA}$ jest r�ny od zera dla ka�dego $t$, tak wi�c
kolumny macierzy tworz� uk�ad fundamentalny.
\end{itemize}
\end{wniosek}

\begin{lemat}
Je�li $AB=BA$ to: $$e^{A}e^{B}=e^{A+B}.$$
\end{lemat}

\paragraph{Plan dowodu:}
B�dziemy korzysta� z wzoru na mno�enie szereg�w:
$$\left(\sum_{j=0}^{\infty}A_{j}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\right)=
\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{i}(A_l\cdot B_{i-l}),$$
oraz z wzoru na $k$-t� pot�g� sumy macierzy:
$$(A+B)^{k}=\sum_{p=0}^{k}{k\choose p}A^{p}B^{k-p},$$
kt�ry jest poprawny je�li $AB=BA$.

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Rozpiszmy lew� stron� r�wno�ci z tezy:
$$e^{A}e^{B} = \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}A^{j}\sum_{\mu=0}^{\infty}\frac{1}{\mu!}B^{\mu}.$$
Korzystaj�c z wzoru na mno�enie szereg�w mamy:
$$\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{p=0}^{k}\frac{1}{p!}A^{p}\frac{1}{(k-p)!}B^{k-p}=$$
$$=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\sum_{p=0}^{k}\frac{k!}{p!(k-p)!}A^{p}B^{k-p}
= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\underbrace{\sum_{p=0}^{k}{k\choose p}A^{p}B^{k}}_{=(A+B)^{k}}=$$
$$=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(A+B)^{k} = e^{A+B}.\qedhere$$
\end{proof}

\begin{wniosek}
Wiem wi�c, �e:
\begin{itemize}
\item $e^{tA}e^{sA}=e^{(t+s)A}$,
\item $(e^{tA})^{-1}=e^{-tA}$.
\end{itemize}
\end{wniosek}

\subsection{Metoda Putzera}
Wiemy ju� bardzo wiele o macierzy fundamentalnej $e^{tA}$. Udowodnimy teraz
twierdzenie, w kt�rego tre�ci opisana jest metoda wyznaczania macierzy $e^{tA}$
dla danego uk�adu r�wna�.

\begin{tw}[metoda Putzera]
Rozwa�my uk�ad r�wna�, zapisany w postaci $x^{\prime}=Ax$. Niech, dla $i=1,\ldots,n$,
$\lambda_i$ b�d� warto�ciami w�asnymi macierzy $A$. Niech ponadto:
$p_0(t)=e^{\lambda_1t}$, $p_k(t)=\int_{0}^{t}e^{\lambda_{k+1}(t-s)}p_{k-1}(s)ds$
dla $k=1,2,\ldots,n-1$, $Q_{0}=I$, $Q_{j+1}=Q_j(A-\lambda_{j+1}I)$ dla $j=0,1,\ldots,n-2$,
to: $$e^{tA}=\sum_{j=0}^{n-1}p_{j}(t)Q_j.\qquad (*)$$
\end{tw}

\begin{uwaga}
Zak�adamy w tym twierdzeniu, �e macierz $A$ ma rozmiar $n\times n$, oraz, �e
je�li kt�ra� z warto�ci w�asnych macierzy jest wielokrotna, to wypisujemy
j� tyle razy ile wynosi krotno��, czyli zawsze mamy uk�ad $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$.
Warto�ci w�asne mo�emy oczywi�cie wyliczy� z r�wnania charakterystycznego macierzy: $\det(A-\lambda I)=0$.
\end{uwaga}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Chcemy pokaza�, i� istotnie prawdziwy jest wz�r $(*)$. Warunki:
$$\left\{\begin{array}{l}
X^{\prime}(t)=AX(t) \\
X(0)=I\end{array}\right.$$
wyznaczaj� macierz $e^{tA}$ w spos�b jednoznaczny (oczywi�cie, zak�adamy, �e
jest to r�wnanie macierzowe, czyli $X(t)$ oznacza macierz $n\times n$, natomiast
$X^{\prime}(t)$ to pochodna macierzy $X$, czyli po prostu pochodna ka�dego z wyraz�w
macierzy $X$). Poka�emy, �e je�li przyjmiemy, �e prawdziwy jest wz�r $(*)$, to
powy�sze warunki s� spe�nione. Poka�emy wi�c, �e:
$$\left\{\begin{array}{l}
\left(\sum_{j=0}^{n-1}p_{j}(t)Q_j\right)^{\prime}=A\left(\sum_{j=0}^{n-1}p_{j}(t)Q_j\right) \\
\sum_{j=0}^{n-1}p_{j}(0)Q_j=I\end{array}\right.$$
Drugi z warunk�w mo�emy sprowadzi�, do: $p_{0}=1,Q_0=I,p_{j}(0)=0$ dla $j=1,2,\ldots,n-1$.
Zajmijmy si� wi�c pierwszym warunkiem. Pierwszy warunek sprowadza si�, do pokazania,
�e zachodzi:
$$\sum_{j=0}^{n-1}p_j^{\prime}(t)Q_{j} = \sum_{j=0}^{n-1}p_{j}(t)AQ_{j}.$$
Z definicji $Q_{j}$ mo�emy przekszta�ci� praw� stron�\footnote{Wynika to z faktu: $AQ_{j}= Q_{j+1}+\lambda_{j+1}Q_j$.
Wynika on wprost z definicji $Q_j$. Mamy bowiem: $Q_{j+1} = Q_j(A-\lambda_{j+1}I)$.
Mno��c nawias dostajemy: $Q_{j+1} = Q_{j}A-\lambda_{j+1}Q_j$. No a st�d:
$Q_{j+1} + \lambda_{j+1}Q_{j}=Q_{j}A$.}:
$$\sum_{j=0}^{n-1}p_j^{\prime}(t)Q_{j} = \sum_{j=0}^{n-1}\left(p_{j}(t)\left(Q_{j+1}+\lambda_{j+1}Q_{j}\right)\right).$$
Por�wnajmy teraz wsp�czynniki po obu stronach:
$$\begin{array}{c|c|c}
 &\textrm{lewa strona}&\textrm{prawa strona} \\ \hline
Q_0 & p_0^{\prime}(t) & \lambda_{1}p_{0}(t) \\
Q_1 & p_1^{\prime}(t) & p_{0}(t)+\lambda_{2}p_{1}(t) \\
Q_2 & p_2^{\prime}(t) & p_{1}(t)+\lambda_{3}p_{2}(t) \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
Q_{n-1} & p_{n-1}^{\prime}(t) & p_{n-2}(t) + \lambda_{n}p_{n-1}(t) \\
Q_{n} & 0 & p_{n-1}(t)
\end{array}$$
Zauwa�my, �e macierz $Q_{n}$ dana jest wzorem:
$$Q_{n}=(A-\lambda_{1}I)(A-\lambda_{2}I)\cdots(A-\lambda_{n}I).$$
Poniewa� $\lambda_i$ to warto�ci w�asne, to macierz $Q_{n}$ musi by� macierz�
zerow�\footnote{Jest to fakt z Algebry liniowej.}. Tak wi�c, ostatnia pozycja
w tabli z wsp�czynnikami si� zgadza. Pozosta�e wsp�czynniki r�wnie� s�
jednakowe po obu stronach. Tak wi�c rzeczywi�cie, macierz dana wzorem $(*)$
spe�nia sformu�owane warunki na $e^{tA}$, a z jednoznaczno�ci rozwi�za� takiego
zagadnienia wiemy, �e w takim razie wz�r $(*)$ musi wyra�a� $e^{tA}$. \end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Dwupunktowe zagadnienie brzegowe}

\section{Wprowadzenie}
W rozdziale tym zajmowa� si� b�dziemy r�wnaniami liniowymi drugiego rz�du,
o wsp�czynnikach funkcyjnych. R�wnania tego typu by�y szczeg�owo om�wione
w jednym z poprzednich rozdzia��w.
Teraz jednak, rozpatrywa� b�dziemy zagadnienia, w kt�rych dodatkowy warunek ma
inn� posta� ni� poprzednio.
Warunek ten nosi� b�dzie nazw� warunku brzegowego, gdy� zawiera
warto�ci rozwi�zania w r�nych punktach przedzia�u $[a,b]$.
Rozpatrywane zagadnienie b�dziemy nazywa� ,,zagadnieniem brzegowym'', oznacza�
je b�dziemy $(ZB)$ i b�dzie ono postaci:
$$\left\{
\begin{array}{l}
z''(t)+p(t)z'(t)+q(t)z(t)=f(t) \\
a_{1}z(a)+a_{2}z'(a)=c_{1},\quad a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\neq 0 \\
b_{1}z(b)+b_{2}z'(b)=c_{2},\quad b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\neq 0
\end{array}\right.$$

\subsection{Oznaczenia}
Poza oznaczeniem og�lnym $(ZB)$ b�dziemy u�ywa� nast�puj�cych oznacze�:
$$\begin{array}{l}
(Lz)(t):=z''(t)+p(t)z'(t)+q(t)z(t) \\
u_{1}(z):=a_{1}z(a)+a_{2}z'(a) \\
u_{2}(z):=b_{1}z(b)+b_{2}z'(b)
\end{array}$$
Zgodnie z tym co m�wili�my ju� wcze�niej, $L$ jest operatorem, czyli tak�
funkcj�, kt�rej dziedzin� i przeciwdziedzin� jest zbi�r funkcji. Funkcje
$u_{1},u_{2}$, s� natomiast funkcjami, kt�rych dziedzin� jest zbi�r funkcji,
a przeciwdziedzin�, zbi�r liczb (w naszym przypadku liczb rzeczywistych b�d�
zespolonych). Takie funkcje nazywamy funkcjona�ami.

Zagadnienie brzegowe przy tak dobranych oznaczeniach ma posta�\footnote{Oczywi�cie obie formy
s� r�wnowa�ne -- znacz� dok�adnie to samo.}:
$$(ZB)\left\{
\begin{array}{l}
Lz=f\\
u_{1}(z)=c_{1}\\
u_{2}(z)=c_{2}
\end{array}\right.$$

Zauwa�my ponadto, �e zar�wno operator $L$, jak i funkcjona�y $u_1,u_2$ s� liniowe,
czyli s� addytywne\footnote{Funkcja $f$ jest addytywna, je�li spe�nione jest $f(x+y)=f(x)+f(y)$.}
i jednorodne\footnote{Funkcja $f$ jest jednorodna, je�li spe�nione jest $f(kx)=kf(x)$, gdzie $k$ jest sta��.}.

\section{Rozwi�zania zagadnienia brzegowego}
Przy rozpatrywaniu zagadnie� brzegowych, nie mo�emy oczywi�cie zastosowa� �adnego
z twierdze� sformu�owanych dla zagadnienia pocz�tkowego\footnote{Oczywi�cie mo�emy
korzysta� z twierdze� og�lnych, kt�re nie odnosi�y si� bezpo�rednio do warunk�w
pocz�tkowych, a jedynie do r�wnania liniowego wy�szego rz�du.}.
Trzeba wi�c poda� nowe warunki, na to aby istnia�o jednoznaczne rozwi�zanie
takiego� zagadnienia.

\begin{tw}[istnienie i jednoznaczno�� rozwi�zania zagadnienia brzegowego]
Zagadnienie $(ZB)$ posiada rozwi�zanie dla ka�dych $c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}$,
$f\in C([a,b],\mathbb{R})$, wtedy i tylko wtedy, gdy zagadnienie $Lz\equiv 0,
u_{1}(z)=u_{2}(z)=0$ posiada tylko rozwi�zanie zerowe\footnote{Czyli jedynym
rozwi�zaniem spe�niaj�cym to zagadnienie musi by� funkcja $z\equiv 0$.}.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
Korzystaj�c z fakt�w na temat postaci og�lnej rozwi�zania r�wnanie liniowego
wy�szego rz�du, budujemy rozwi�zanie $(ZB)$ i pokazujemy, �e warunki na to
aby rozwi�zanie to wyznaczone by�o jednoznacznie, s� dok�adnie tymi warunkami
kt�re podaje twierdzenie.

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Niech funkcja $\varphi_{1},\varphi_{2}$ stanowi� uk�ad fundamentalny rozwi�za�
r�wnania $Lz\equiv 0$, oraz niech funkcja $\psi$ b�dzie dowolnym rozwi�zaniem
r�wnania $Lz=f$. Poszukiwa� b�dziemy funkcji $z$, kt�ra ma spe�nia� $(ZB)$.
Z twierdzenia o postaci og�lnej rozwi�zania r�wnania liniowego wy�szego rz�du,
wiemy, �e $z$ daje si� na pewno zapisa� w postaci:
$$z=\psi+d_{1}\varphi_{1}+d_{2}\varphi_{2},$$
gdzie $d_1,d_2$ to pewne sta�e, kt�re b�dziemy chcieli wyznaczy�. Musimy
dobra� je tak aby spe�nione by�y warunki brzegowe, czyli aby zachodzi�o:
$$\left\{
\begin{array}{l}
u_1(z)=u_1(\psi)+d_{1}u_1(\varphi_1)+d_2u_1(\varphi_2)=c_1 \\
u_2(z)=u_2(\psi)+d_{1}u_2(\varphi_1)+d_2u_2(\varphi_2)=c_2
\end{array}\right.\qquad(*)$$
Je�li udowodnimy, �e zawsze daje si� dobra� jakie� sta�e $d_1,d_2$, b�dziemy
mie� pewno��, �e zawsze istnieje jakie� rozwi�zanie $(ZB)$. Je�li oka�e si�,
�e wyb�r ten jest jednoznaczny, b�dziemy mie� pewno��, �e istnieje jednoznaczne
(jedyne) rozwi�zanie $(ZB)$.

Zauwa�my, �e uk�ad $(*)$, mo�na zapisa� w postaci macierzowej:
$$
\underbrace{
\left[\begin{array}{cc}
u_1(\varphi_1) & u_1(\varphi_2) \\
u_2(\varphi_1) & u_2(\varphi_2)\end{array}\right]}_{=:U}\cdot
\left[\begin{array}{c}
d_1 \\
d_2 \end{array}\right] =
\left[\begin{array}{c}
c_1 - u_1(\psi) \\
c_2 - u_2(\psi) \end{array}\right]$$
Chcemy aby uk�ad ten posiada� dok�adnie jedno rozwi�zanie. Z tw.~Cramera
wiemy, i� jest to mo�liwe tylko wtedy, gdy $\det U\neq 0$. No ale, warunek
ten jest r�wnowa�ny warunkowi, �e uk�ad:
$U\left[\begin{array}{c}d_1\\d_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]$
ma tylko jedno rozwi�zanie. A je�li taki uk�ad ma tylko jedno rozwi�zanie to
na pewno jest to rozwi�zanie zerowe. Czyli warunek istnienia i jednoznaczno�ci
rozwi�zania $(ZB)$ jest rzeczywi�cie taki, jak w tre�ci twierdzenia. \end{proof}

\section{Posta� rozwi�zania $(ZB)$}

W dalszych rozwa�aniach, aby upro�ci� zapisy, wprowadzimy nieco inne oznaczenia
dla zagadnienia brzegowego. R�wnanie $Lz=f$ mo�emy zapisa� w postaci:
$$(\bar{p}(t)z'(t))' + \bar{q}(t)z(t)=\bar{f}(t),$$
gdzie funkcje $\bar{p},\bar{q},\bar{f}$ dane s� wzorami:
$$\bar{p}(t) = e^{\int_{t_0}^t p(s)ds},$$
$$\bar{q}(t) = \bar{p}(t)q(t),$$
$$\bar{f}(t) = \bar{p}(t)f(t).$$

Zdefiniujmy wi�c nowy operator, okre�laj�cy lew� stron� r�wnania:
$$(\Lambda z)(t):=(p(t)z'(t))'+q(t)z(t),$$
gdzie przyjmujemy $p(t):=\bar{p}(t),q(t):=\bar{q}(t).$

\subsection{Funkcja Greena}

Zdefiniujemy teraz specjaln� funkcj�, z kt�rej b�dziemy korzysta�, aby poda�
posta� og�ln� rozwi�zania zagadnienia brzegowego.

\begin{definicja}[funkcja Greena dla $(ZB)$]
Funkcj� $G\colon[a,b]\times[a,b]\to\mathbb{R}$ nazywamy funkcj� Green'a zagadnienia
$\Lambda z\equiv 0$, $u_1(z)=u_2(z)=0$, je�eli s� warunki:
\begin{enumerate}
\item Funkcja $G(t,s)$ jest ci�g�a, natomiast $\frac{\partial G}{\partial t}$ oraz
$\frac{\partial^{2}G}{\partial t^{2}}$ s� ci�g�e na prostok�cie bez przek�tnej: $[a,b]\times[a,b] \backslash \{(t,t)\colon t\in [a,b]\}$.

\item Zachodzi: $\frac{\partial G}{\partial t}(s+0,s) - \frac{\partial G}{\partial t}(s-0,s)=\frac{1}{p(s)}$,
gdzie zapisy $s+0$ oraz $s-0$ rozumie si�, jako granic� odpowiednio prawo- i lewo-stronn�.

\item Spe�nione jest: $\left(\forall_{s}\Lambda G(\cdot,s)\right)(t) = 0$ dla ka�dego $t\neq s$,
oraz zachodzi $u_1(G(\cdot,s))=u_2(G(\cdot,s))=0$. Czyli funkcja Greena musi spe�nia� zagadnienie
brzegowe jednorodne z warunkami zerowymi, na pierwszej wsp�rz�dnej (przy dowolnie ustalonej drugiej),
przy czym r�wnania r�niczkowego nie spe�nia w jednym punkcie ($t=s$).
\end{enumerate}
\end{definicja}

\subsection{Zagadnienie z warunkami zerowymi}

\begin{tw}[posta� rozwi�zania $(ZB)$ z warunkami zerowymi]
Je�li funkcje $p',q,f$ s� ci�g�e na $[a,b]$ to funkcja $y(t)=\int_{a}^{b}G(t,s)f(s)ds$
jest rozwi�zaniem zagadnienia $\Lambda y=f, u_1(y)=u_2(y)=0$.
\end{tw}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Poka�emy wprost, �e funkcja dana wzorem z twierdzenia, rzeczywi�cie spe�nia
odpowiednie zagadnienie. Pomocny oka�e si� wz�r:
$$\frac{d}{dt}\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}g(t,s)ds = \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}\frac{\partial g}{\partial t}(t,s)ds +
\beta'(t)g(t,\beta(t))-\alpha'(t)g(t,\alpha(t)).\label{wzor}$$
Chcemy policzy� $y'$ i $y''$ dla funkcji $y$ danej w twierdzeniu. Zaczniemy
od rozpisania ca�ki pojawiaj�cej si� we wzorze na $y$:
$$y(t)=\int_{a}^{b}G(t,s)f(s)ds = \int_{a}^{t}G(t,s)f(s)ds + \int_{t}^{b}G(t,s)f(s)ds.$$
Zgodnie z wzorem $(\ref{wzor})$ mamy wi�c:
$$y'(t)=G(t,t)f(t) + \int_{a}^{t}\frac{\partial G}{\partial t}(t,s)f(s)ds + \int_{t}^{b}\frac{\partial G}{\partial t}(t,s)f(s)ds - G(t,t)f(t) =$$
$$=\int_{a}^{b}\frac{\partial G}{\partial t}(t,s)f(s)ds.$$
Analogicznie, wyznaczamy $y''$:
$$y''(t)=\int_{a}^{t}\frac{\partial^{2}G}{\partial t^{2}}(t,s)f(s)ds+ \frac{\partial G}{\partial t}(t,t-0)f(t)+$$
$$+\int_{t}^{b}\frac{\partial^{2}G}{\partial t^{2}}(t,s)f(s)ds - \frac{\partial G}{\partial t}(t,t+0)f(t).$$
Korzystaj�c, z w�asno�ci funkcji Greena, oraz z faktu, �e: $\frac{\partial G}{\partial t}(t,t-0)=\frac{\partial G}{\partial t}(t+0,t)$,
$\frac{\partial G}{\partial t}(t,t+0)=\frac{\partial G}{\partial t}(t-0,t)$, mamy:
$$y''(t)=\int_{a}^{b}\frac{\partial^{2}G}{\partial t^{2}}(t,s)f(s)ds+\frac{f(t)}{p(t)}.$$
Mo�emy teraz podstawi� $y$ do rozpatrywanego r�wnania:
$$(p(t)y'(t))'+q(t)y(t)=p'(t)y'(t)+p(t)y''(t)+q(t)y(t)=$$
$$=p'(t)\int_{a}^{b}\frac{\partial G}{\partial t}(t,s)f(s)ds + p(t)\left(\int_{a}^{b}\frac{\partial^{2}G}{\partial t^{2}}(t,s)f(s)ds+\frac{f(t)}{p(t)}\right)+$$
$$+q(t)\int_{a}^{b}G(t,s)f(s)ds=$$
$$=f(t)+\int_{a}^{b}f(s)\left(p'(t)\frac{\partial G}{\partial t}(t,s) + p(t)\frac{\partial^{2}G}{\partial t^{2}}(t,s)+q(t)G(t,s)\right)ds=$$
Co mo�emy zapisa� pro�ciej:
$$=f(t)+\int_{a}^{b}f(s)\left(\Lambda G(\cdot,s)\right)ds=f(t),$$
z definicji funkcji Greena $\Lambda G(\cdot,s)\equiv 0$, czyli
ca�ka w powy�szej r�wno�ci r�wna jest zero. Tak wi�c, funkcja $y$ spe�nia r�wnanie
$Ly=f$. Spe�nione s� r�wnie� warunki brzegowe, co bardzo �atwo pokaza� (z funkcjona�ami
$u_1,u_2$ wchodzimy pod ca�k�, i z definicji funkcji Greena, mamy wprost, �e wszystko
musi by� spe�nione zgodnie z tre�ci� naszego twierdzenia). \end{proof}

\subsection{Rozwi�zanie og�lne}

\begin{tw}[posta� rozwi�zania zagadnienia brzegowego w og�lnym przypadku]
Je�li funkcja $\omega\in C^{2}([a,b],\mathbb{R})$, jest funkcj� tak�, �e
$u_1(\omega)=\alpha, u_2(\omega)=\beta$, to funkcja: $z(t)=\int_{a}^{b}G(t,s)(f(s)-(\Lambda\omega)(s))ds+\omega(t)$
jest rozwi�zaniem zagadnienia $\Lambda x=f, u_1(x)=\alpha, u_2(x)=\beta$.
\end{tw}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}] Funkcja $z$ rzeczywi�cie spe�nia zadane zagadnienie, poniewa� (z liniowo�ci
$u_j$):
$$u_j(z)=0+u_j(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha & j=1 \\ \beta & j=2\end{array}\right.,$$
ponadto:
$$\Lambda z = \left(f(t) - (\Lambda \omega)(t)\right) + (\Lambda \omega)(t) = f(t).$$
Pierwszy sk�adnik sumy, otrzymujemy z zastosowania poprzedniego twierdzenia, dla
zagadnienia $(\Lambda x)(t) = g(t)$, gdzie $g(t)=f(t)+(\Lambda\omega)(t).\qedhere$
\end{proof}

\subsection{Wyznaczanie funkcji Green'a}
Dotychczas podali�my jedynie formaln� definicji warunk�w, kt�re musi spe�nia�
funkcja, aby by� funkcj� Green'a danego zagadnienia. Teraz zaprezentujemy
metod� znajdowania konkretnej funkcji, kt�ra b�dzie spe�nia� te warunki.

Za��my, �e dane jest r�wnanie $\Lambda x = f$, z warunkami $u_1(x)=\alpha,u_2(x)=\beta$.
Niech $\varphi_1,\varphi_2$ b�d� rozwi�zaniami r�wnania $\Lambda x\equiv 0$
takimi, �e $u_1(\varphi_1)=0$ oraz $u_2(\varphi_2)=0$, $(*)\ \varphi_i\not\equiv 0$.
Funkcje te �atwo mo�na znale��, rozwi�zuj�c r�wnanie $\Lambda x\equiv 0$ z
warunkiem pocz�tkowym (nie brzegowym). Dla $\varphi_1$ warunek musi by� dobrany
tak aby zachodzi�o $a_1\varphi_1(a)+a_2\varphi'_1(a)=0$,
czyli na przyk�ad: $(WP)=\left\{\begin{array}{l}\varphi_1(a)=\lambda a_2 \\ \varphi_1'(a)=-\lambda a_1\end{array}\right.$.
Dla $\varphi_2$ dobieramy warunek analogiczny.

Tak dobrane $\varphi_1,\varphi_2$ s� liniowo niezale�ne. Za��my bowiem, �e
$\lambda_1^{2}+\lambda_2^{2}\neq 0$ oraz $\lambda_1\varphi_1 + \lambda_2\varphi_2\equiv 0$.
Niech wi�c np. $\lambda_1\neq 0$. Wtedy $\varphi_1=\frac{-\lambda_2}{\lambda_1}\varphi_2$.
A zatem $u_2(\varphi_1)=\frac{-\lambda_2}{\lambda_1}u_2(\varphi_2)=0$. Wynika�oby
st�d, �e $\Lambda \varphi_1\equiv 0$ oraz $u_1(\varphi_1)=u_2(\varphi_1)=0$. No ale,
st�d wynika natychmiast\footnote{Musi tak by� rzeczywi�cie, ze wzgl�du na warunek
istnienia rozwi�zania zagadnienia brzegowego, kt�rego szukamy.}, �e $\varphi_1\equiv 0$,
co jest sprzeczne z naszym wcze�niejszym za�o�eniem $(*)$. Tak wi�c, za�o�enie,
�e funkcje $\varphi_1,\varphi_2$ s� liniowo zale�ne, prowadzi do sprzeczno�ci.

Szukamy funkcji postaci:
$$G(t,s)=\left\{\begin{array}{lr}
\chi_1(s)\varphi_1(t)&\textrm{dla $t\leq s$} \\
\chi_2(s)\varphi_2(t)&\textrm{dla $t\geq s$}
\end{array}\right.$$
Musimy zagwarantowa�, �e funkcja $G$ spe�nia definicj� funkcji Green'a.

\begin{enumerate}
\item Nasza funkcja $G$ spe�nia warunki brzegowe na pierwszej zmiennej:
$$\begin{array}{l}
u_1(G(\cdot,s)) = u_1(\chi_1(s)\varphi_1)=\chi_1(s)u_1(\varphi_1)=0 \\
u_2(G(\cdot,s)) = u_2(\chi_1(s)\varphi_1)=\chi_2(s)u_2(\varphi_2)=0
\end{array}$$
Funkcja ta, spe�nia r�wnie� $\Lambda (G(\cdot,s))\equiv 0$, ze wzgl�du na
dob�r $\varphi_1,\varphi_2$.

\item Funkcja $G$ musi by� ci�g�a, czyli musi zachodzi�:
$$\chi_1(s)\varphi_1(s)=\chi_2(s)\varphi_2(s).\qquad(1)$$

\item Musi by� spe�niony r�wnie� warunek:
$$\frac{\partial G}{\partial t}(s+0,s) - \frac{\partial G}{\partial t}(s-0,s)=
\chi_2(s)\varphi_2'(s) - \chi_1(s)\varphi_1'(s)=\frac{1}{p(s)}.\qquad(2)$$
\end{enumerate}

Musimy wi�c wyznaczy� $\chi_1,\chi_2$, tak aby spe�nione by�y warunki $(1),(2)$.
Mamy wi�c do rozwi�zania uk�ad r�wna�\footnote{Aby lepiej rozumie� co si� tutaj dzieje,
proponujemy zapisa� r�wnania $(1)$ i $(2)$ w uk�adzie r�wna�.}, kt�rego wyznacznik
g��wny ma posta�: $-\left|\begin{array}{cc}\varphi_1(s)&\varphi_2(s)\\ \varphi_1'(s) & \varphi_2'(s) \end{array}\right|$,
czyli $-W(s)$. Wiemy, �e wyznacznik ten nie zeruje si� (ze wzgl�du na wyb�r $\varphi_i$). Stosuj�c
wi�c wzory Cramera, mamy:
$$\chi_1(s)=\frac{\left|\begin{array}{cc}0&\varphi_2(s)\\ \frac{-1}{p(s)} & \varphi_2'(s) \end{array}\right|}{-W(s)} = \frac{\varphi_2(s)}{p(s)W(s)},$$
$$\chi_2(s)=\frac{\left|\begin{array}{cc}\varphi_1(s) & 0 \\ \varphi_1'(s) & \frac{-1}{p(s)} \end{array}\right|}{-W(s)} = \frac{\varphi_1(s)}{p(s)W(s)}.$$

\noindent Nasza funkcja $G$ ma wi�c posta�:
$$G(t,s)=\left\{\begin{array}{lr}
\frac{\varphi_1(t)\varphi_2(s)}{p(s)W(s)} & \mathrm{dla } t\leq s \\
\frac{\varphi_2(t)\varphi_1(s)}{p(s)W(s)} & \mathrm{dla } t\geq s
\end{array}\right.$$
Okazuje si� jednak, �e wyra�enie $p(s)W(s)$ znajduj�ce si� w mianowniku, jest sta�e.
Co mo�na �atwo udowodni� korzystaj�c z tego, �e $\varphi_1,\varphi_2$ s� rozwi�zaniami
r�wnania $\Lambda x = 0$. Mamy bowiem\footnote{Zapisujemy tu fakt, �e $\varphi_1$ oraz $\varphi_2$ spe�niaj� $\Lambda f\equiv 0$.}:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
(p(s)\varphi_1'(s))' + q(s)\varphi_1(s) = 0 \\
(p(s)\varphi_2'(s))' + q(s)\varphi_2(s) = 0
\end{array}\right.
$$
Pierwsze r�wnanie mno�ymy obustronnie przez $\varphi_2$, a drugie przez $\varphi_1$,
a nast�pnie odejmujemy stronami. Otrzymujemy:
$$0=\varphi_2\cdot\underbrace{\left((p(s)\varphi_1'(s))'+q(s)\varphi_1(s)\right)}_{\textrm{r�wnanie pierwsze}} -
\varphi_1\cdot\underbrace{\left((p(s)\varphi_2'(s))'+q(s)\varphi_2(s)\right)}_{\textrm{r�wnanie drugie}} =$$
$$=p(s)(\varphi_2(s)\varphi_1''-\varphi_1(s)\varphi_2''(s))+p'(s)(\varphi_2(s)\varphi_1''(s)-\varphi_1(s)\varphi_2'(s))=$$
$$=-p(s)\left|\begin{array}{cc}\varphi_1(s) & \varphi_2(s) \\ \varphi_1''(s) & \varphi_2''(s)\end{array}\right|
-p'(s)\left|\begin{array}{cc}\varphi_1(s) & \varphi_2(s) \\ \varphi_1'(s) & \varphi_2'(s)\end{array}\right|=$$
Zgodnie z wzorem na pochodn� wyznacznika, mamy:
$$=-p(s)W'(s) - p'(s)W(s) = - (p(s)W(s))'.$$
Doszli�my wi�c, do tego, �e $(p(s)W(s))' = 0$, co �wiadczy o tym, �e $p(s)W(s)=const$.

Funkcj� $G$ mo�emy wi�c poda� wzorem:
$$G(t,s)=\left\{
\begin{array}{lr}
\frac{\varphi_1(t)\varphi_2(s)}{c}&t\leq s \\
\frac{\varphi_2(t)\varphi_1(s)}{c}&t\geq s
\end{array}\right.$$
gdzie $c=p(s)W(s)$. Aby policzy� warto�� sta�ej $c$, liczymy warto�� wyra�enia
$p(s)W(s)$ dla dowolnego $s$. W ten spos�b wyznaczyli�my funkcj� Greena dla
zagadnienia $(ZB)$.

\begin{wniosek}
Jak wida� $G(t,s)=G(s,t)$, tak wi�c funkcja Green'a jest rozwi�zaniem r�wnania
nie tylko na pierwszej, ale i na drugiej wsp�rz�dnej.
\end{wniosek}

\chapter{Przybli�anie rozwi�zania -- metoda Eulera}

\section{Wprowadzenie}
W tym rozdziale poka�emy metod�, kt�ra s�u�y do przybli�ania nieznanego rozwi�zania
r�wnania r�niczkowego pierwszego rz�du. Metoda Eulera kt�r� tu opiszemy, jest
jedn� z najprostszych i najstarszych metod tego typu. Ze wzgl�du na ograniczony
zakres tego podr�cznika, inne metody nie zostan� w og�le om�wione. Nale�y mie�
jednak �wiadomo�� i� takowe istniej�. Nale�y r�wnie� zwr�ci� uwag� na wielk� wag�
metod, kt�re pozwalaj� przybli�y� nieznane rozwi�zania. Niewiele r�wna� bowiem
daje si� prosto i dok�adnie rozwi�za�. Cz�sto mamy w praktyce do czynienia z
r�wnaniami, kt�rych nie da si� zakwalifikowa� do �adnego z om�wionych typ�w.
Mo�emy w�wczas jedynie sprawdzi�, korzystaj�c z odpowiedniego twierdzenia,
i� istnieje jednoznaczne rozwi�zanie. Cz�sto jedynym wyj�ciem (z regu�y wystarczaj�cym)
jest znalezienie przybli�onego rozwi�zania.

\section{Idea metody Eulera}
Za��my, �e dane jest zagadnienie:
$$\left\{\begin{array}{l}
x'(t)=f(t,x(t)) \\
x(\tau)=x_0
\end{array}\right.$$
okre�lone na przedziale $[a,b]$. Metoda Eulera pozwala otrzyma� przybli�enie
na przedziale $[\tau,b]$ oraz $[a,\tau]$. Je�li chcemy otrzyma� rozwi�zanie
na ca�ym przedziale $[a,b]$ musimy zastosowa� metod� dwukrotnie.
Poni�ej poka�emy spos�b przybli�ania rozwi�zania na przedziale $[\tau,b]$. Przybli�enie
na drugim z przedzia��w otrzymujemy analogicznie, i z tych dw�ch funkcji budujemy
przybli�one rozwi�zanie na $[a,b]$.

\paragraph{Metoda Eulera}
\begin{enumerate}

\item Dzielimy przedzia� $[\tau,b]$ na $n$ mniejszych przedzia��w r�wnej d�ugo�ci.
Czyli tworzymy ci�g
punkt�w $t_i$ takich, �e $t_0=\tau$, $t_n=b$, oraz dla ka�dego $i=1,\ldots,n-1$ mamy:
$t_{i+1}-t_i=h$, gdzie $h$ jest sta�� liczb�, zale�n� od $n$,
tak�, �e $h=\frac{b-\tau}{n}$. Oczywi�cie zachodzi $t_i=t_0+i\cdot h$.

\item Korzystamy z definicji pochodnej, kt�ra m�wi, i� pochodna funkcji
w punkcie, jest granic� ilorazu r�nicowego\footnote{Czyli: $f'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$.}. B�dziemy przybli�a� t� granic�,
poprzez warto�� ilorazu r�nicowego w punktach $t_i$, przy ustalonym $h$ tak
jak wy�ej. Pomys� ten mo�na zapisa� tak:
$$\frac{x(t_{j+1}) - x(t_j)}{t_{j+1}-t_{j}}\approx x'(t_j) = f(t_j,x(t_j)).$$
Podstawiaj�c do powy�szego wzoru $t_j=t_0+ht_j$ oraz traktuj�c $\approx$ jako $=$
otrzymujemy:
$$x(t_{j+1}) = x(t_j)+hf(t_j,x(t_j)).$$

\item Wprowadzaj�c oznaczenia $y_j:=x(t_j), y_0=x_0$, otrzymujemy wz�r metody
Eulera:
$$\left\{\begin{array}{l}
y_{j+1}=y_j+hf(t_j,y_j) \\
y_0 = x_0\end{array}\right.$$
Wz�r ten opisuje rekurencyjnie ci�g liczb $y_i$, kt�ry ma by� ci�giem przybli�e�
warto�ci rzeczywistego rozwi�zania w punktach $t_i$. Podamy warunek, jaki musi
spe�nia� zagadnienie, aby przy zwi�kszeniu liczby tych punkt�w, czyli zmniejszaniu
d�ugo�ci przedzia�u $h$, przybli�enie by�o coraz lepsze.

\item Z otrzymanego ci�gu punkt�w budujemy funkcj� $y$, kt�ra b�dzie przybli�eniem
ca�ego rozwi�zania. Mo�na opisa� j� wzorem:
$$\left\{\begin{array}{l}
y(t_j) = y_j \\
y(t) = y_j + (t-t_j)\frac{y_{j+1} - y_{j}}{h} = y_{j}+(t-t_{j})f(t_j,y_j)\quad\textrm{dla $t\in[t_j,t_{j+1}]$}
\end{array}\right.$$
Wykresem takiej funkcji jest �amana, zwana �aman� Eulera.
\end{enumerate}

W dalszych rozwa�aniach zak�adamy, �e metoda Eulera daje nam ,,od razu'' przybli�enie
rozwi�zania na ca�ym przedziale $[a,b]$, a nie na jego cz�ci, tak jak to by�o podane na pocz�tku
tego rozdzia�u. Wiemy �e da si� otrzyma� takie przybli�enie na ca�ym przedziale,
wi�c uproszczenie to nie wp�ywa na poprawno�� formu�owanych twierdze� i fakt�w.

\section{Zbie�no�� metody Eulera}
\begin{definicja}
M�wimy, �e metoda Eulera jest zbie�na, je�li:
$$\lim_{N\to\infty} \max_{j=0,\ldots,N} |y_j - x(t_j)| = 0.$$
Gdzie $y_j$ jest liczb� zdefiniowan� zgodnie z metod� Eulera, natomiast
$x(t_j)$ jest warto�ci� rzeczywistego rozwi�zania w punkcie $t_j$.
\end{definicja}

Sens tej definicji jest taki: metoda Eulera jest zbie�na, je�li przy zwi�kszeniu
liczby punkt�w $t_j$ r�nica mi�dzy dok�adnym rozwi�zaniem, a rozwi�zaniem
przybli�onym maleje. Czyli im podzia� b�dziesz g�stszy, tym przybli�enie lepsze.

\begin{tw}[o zbie�no�ci metody Eulera]
Za��my, �e funkcja $f\in C([a,b]\times\mathbb{R},\mathbb{R})$, oraz
istnieje takie $L>0$, �e $\forall_{t\in[a,b]}\forall_{x,y\in\mathbb{R}}|f(t,x)-f(t,y)|\leq L|x-y|$.
W�wczas metoda Eulera dla zagadnienia $(PC)$ jest zbie�na.
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Szacujemy b��d metody -- czyli odleg�o�� rozwi�zania dok�adnego od przybli�onego.
\item Szacowanie powy�sze prowadzi do nier�wno�ci rekurencyjnej.
\item Korzystamy z modu�u ci�g�o�ci\footnote{Poj�cie to zostanie wyja�nione w ramach
dowodu.}, aby upro�ci� szacowanie.
\item Rozwi�zujemy nier�wno�� rekurencyjn�, tzn. chcemy otrzyma� szacowanie b��du
metody w w�le $t_j$, kt�re nie b�dzie zale�ne od dobru $j$ a jedynie od $h$.
Korzystamy z warunku Lipschitza, kt�ry spe�nia funkcja $f$ zgodnie z za�o�eniami
naszego twierdzenia.
\item Otrzymujemy oszacowanie, kt�re pozwala w prosty spos�b pokaza� tez�, tzn.
pokazujemy, �e je�li d�ugo�� przedzia�u $h$ d��y do zera, to b��d metody w $j$-tym
w�le r�wnie�.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Wprowad�my na pocz�tek oznaczenie. Niech $\Delta_{j}:=|y_j - x(t_j)|$ oznacza
b��d metody Eulera w $j$-tym w�le. W�wczas mamy:
$$\Delta_{j+1} = \left|y_{j+1} - x(t_{j+1})\right| \overset{(def)}{=} \left|y_j +hf(t_j,y_j) - x(t_j)-\int_{t_j}^{t_{j+1}}f(s,x(s))ds\right|=$$
Skorzystali�my w�a�nie z definicji $\Delta_j$, $y_{j}$ oraz zapisali�my
$x(t_{j+1})$ w postaci ca�ki ($x$ jest rozwi�zaniem
zagadnienia, a nie przybli�eniem). Teraz do naszego wyra�anie pod warto�ci� bezwzgl�dn� dodamy i odejmiemy
$hf(t_j,x(t_j))$, aby potem zastosowa� pewne szacowanie. Mamy wi�c:
$$=\left|y_j-x(t_j)+hf(t_j,y_j)-hf(t_j,x(t_j))+hf(t_j,x(t_j))-\int_{t_j}^{t_{j+1}}f(s,x(s))ds\right|$$
Zauwa�my teraz, �e $h=t_{j+1}-t_{j}$, a wyra�enie $f(t_j,x(t_j))$ oczywi�cie jest
sta�� (przy ustalonym $j$), tak wi�c $hf(t_j,x(t_j)) = (t_{j+1}-t_{j})f(t_j,x(t_j)) = \int_{t_{j}}^{t_{j+1}}f(t_j,x(t_j))ds$.
Korzystaj�c z tego, wyra�enie $hf(t_j,x(t_j))$ przeniesiemy pod ca�k�. Skorzystamy
r�wnie� z nier�wno�ci tr�jk�ta:
$$\leq |y_j-x(t_j)| + h|f(t_j,y_j) - f(t_j,x(t_j))| + \left|\int_{t_j}^{t_{j+1}}f(t_j,x(t_j)) - f(s,x(s))ds\right|\leq$$
Skorzystamy teraz z definicji $\Delta_j$, oraz z warunku Lipschitza aby upro�ci� zapis\footnote{Ka�dy z trzech sk�adnik�w
naszej sumy zapisujemy w innej postaci: $|y_{j}-x(t_j)|=\Delta_j$, $h|f(t_j,y_j) - f(t_j,x(t_j))|\leq hL|y_j-x(t_j)|$, a w ca�ce wchodzimy
z warto�ci� bezwzgl�dn� pod ca�k� (po takiej operacji warto�� albo wzro�nie albo nie zmieni si�).}:
$$\leq \Delta_j + hL|y_j - x(t_j)| + \int_{t_j}^{t_{j+1}}\left|f(t_j,x(t_j)) - f(s,x(s))\right|ds =$$
$$= \Delta_j + hL\Delta_j +\int_{t_j}^{t_{j+1}}\left|f(t_j,x(t_j)) - f(s,x(s))\right|ds=$$
$$=(hL+1)\Delta_j+\int_{t_j}^{t_{j+1}}\left|f(t_j,x(t_j)) - f(s,x(s))\right|ds.$$
Otrzymali�my wi�c nast�puj�ce szacowanie $(*)$:
$$\Delta_{j+1} \leq (hL+1)\Delta_{j}+\int_{t_j}^{t_{j+1}}\left|f(t_j,x(t_j)) - f(s,x(s))\right|ds.$$

Rozwa�my teraz funkcj�:
$$g(s)=f(s,x(s)),\quad g\colon [a,b]\to\mathbb{R}.$$
Jest to funkcja ci�g�a, a skoro jest okre�lona na przedziale domkni�tym, to
jest jednostajnie ci�g�a, czyli:
$$\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{t,t'\in[a,b]}|t-t'|<\delta\Rightarrow |g(t)-g(t')|<\epsilon.$$
Z powy�szej definicji wynika, i� wyb�r $\delta$ uzale�niony jest od wyboru $\epsilon$.
Mo�na wobec tego m�wi� o funkcji (w pewnym sensie). Mo�na te� (czego nie uzasadnimy)
m�wi� o sytuacji odwrotnej, tzn. o doborze $\epsilon$ dla dowolnej $\delta$, czyli:
$$\forall_{t,t'\in [a,b]}|t-t'|<\delta\Rightarrow |g(t)-g(t')|<\omega(\delta),$$
gdzie $\omega\colon [0,b-a]\to\mathbb{R}_{+}$ oraz $\lim_{\delta\to 0^{+}}\omega(\delta)=0$.
Taka funkcja $\omega$ nosi nazw� modu� ci�g�o�ci funkcji $g$. Mo�na j� skonstruowa�,
jednak nie b�dziemy tego robi�. Zak�adamy po prostu, �e ona istnieje.

Skorzystamy z modu�u ci�g�o�ci w naszej nier�wno�ci. Nier�wno�� $(*)$ mo�na bowiem
zapisa� pro�ciej:
$$\Delta_{j+1}\leq\Delta_{j}(1+hL)+\int_{t_j}^{t_{j+1}}\omega(h)ds.$$
Co mo�na zapisa� jeszcze pro�ciej:
$$\Delta_{j+1}\leq\Delta_{j}(1+hL)+h\omega(h).\qquad(**)$$
Jest to ostateczna forma tej nier�wno�ci. Jak wida�, jest to nier�wno�� rekurencyjna, bo $\Delta_{j+1}$ zale�y do $\Delta_j$.
Postaramy si� teraz ,,rozwik�a�'' t�
nier�wno��, tzn. poda� oszacowanie, kt�re nie b�dzie rekurencyjne. Dla ustalenia
uwagi obni�amy na pocz�tek indeksy o 1. Mamy:
$$\Delta_j \leq \Delta_{j-1}(1+hL)+h\omega(h) \leq$$
Dla wyra�enia $\Delta_{j-1}$ rekurencyjnie mo�emy zastosowa� oszacowanie $(**)$:
$$\leq (1+hL)((1+hL)\Delta_{j-2}+h\omega(h))+h\omega(h) =$$
$$= (1+hL)^{2}\Delta_{j-2}+(1+hL)h\omega(h)+h\omega(h)\leq$$
Podobnie jak poprzednio, szacujemy wyra�enie $\Delta_{j-2}$:
$$\leq (1+hL)^{2}((1+hL)\Delta_{j-3}+h\omega(h))+(1+hL)h\omega(h)+h\omega(h) =$$
$$=(1+hL)^{3}\Delta_{j-3}+(1+hL)^{2}h\omega(h)+(1+hL)h\omega(h)+h\omega(h)\leq$$
$$\leq\ldots\leq (1+hL)^{j}\Delta_{0}+(1+hL)^{j-1}h\omega(h)+\ldots+(1+hL)h\omega(h)+h\omega(h)=$$
$$=(1+hL)^{j}\Delta_{0}+h\omega(h)\sum_{i=0}^{j-1}(1+hL)^{i}$$
Otrzymali�my wi�c:
$$\Delta_{j}\leq(1+hL)^{j}\Delta_{0}+h\omega(h)\sum_{i=0}^{j-1}(1+hL)^{i}.$$
Oczywi�cie formalnie rzecz bior�c, potrzebny jest teraz dow�d indukcyjny poprawno�ci
tego oszacowania. �atwiej jednak udowodni� podany ni�ej lemat.

\begin{lemat}
Je�li zachodzi $\Delta_{j+1}\leq A\Delta_j+B$, to zachodzi r�wnie� $\Delta_j\leq A^{j}\Delta_0+B\sum_{i=0}^{j-1}A^{i}$.
\end{lemat}

\paragraph{Dow�d lematu:} Prosta indukcja po $j$. Krok I: dla $j=1$ mamy $\Delta_1\leq A\Delta_0+B$,
czyli teza i za�o�enie maj� t� sam� posta�. Wi�c lemat jest spe�niony dla $j=1$.
Krok II: zak�adamy �e dla $j$ lemat jest poprawny i poka�emy, �e jest poprawny
dla $j+1$:
$$\Delta_{j+1}\leq A(\Delta_j)+B\leq A(A^{j}\Delta_{0}+B\sum_{i=0}^{j-1}A^{i})+B=$$
$$=A^{j+1}\Delta_{0}+B\sum_{i=1}^{j}A^{j}+B = A^{j+1}\Delta_{0}+B\sum_{i=0}^{j}A^{j}.$$
Czyli lemat jest r�wnie� poprawny dla $j+1$. Zgodnie z zasad� indukcji matematycznej,
lemat jest prawdziwy. \end{proof}

Wr��my do naszego oszacowania. Zauwa�my, �e wz�r mo�na jeszcze upro�ci�, ze wzgl�du
na fakt i� $\Delta_0 = 0$. Dzieje si� tak, ze wzgl�du na to, �e w metodzie Eulera
w�ze� o numerze 0 dany jest w warunku pocz�tkowym zagadnienia, czyli nie jest
on w �aden spos�b przybli�ony. Mamy wi�c:
$$\Delta_{j}\leq h\omega(h)\sum_{i=0}^{j-1}(1+hL)^{i} =$$
Stosuj�c wz�r na sko�czon� sum� ci�gu geometrycznego mamy:
$$=h\omega(h)\frac{1-(1+hL)^{j}}{1-(1+hL)} = h\omega(h)\frac{1-(1+hL)^{j}}{-hL}=$$
$$=\omega(h)\frac{1-(1+hL)^{j}}{-L}=\omega(h)\frac{(1+hL)^{j}-1}{L}.$$
Mamy wi�c:
$$\Delta_{j}\leq\frac{(1+hL)^{j}-1}{L}\omega(h).$$
Skorzystamy teraz z nier�wno�ci:
$$\forall_{x\in\mathbb{R}}(1+x)\leq e^{x}.$$
Mo�emy wi�c napisa�, �e $1+hL\leq e^{hL}$. Mamy wi�c:
$$\Delta_{j}\leq\frac{e^{hLj}-1}{L}\omega(h).$$
Zauwa�my, �e ze wzgl�du na to, �e $e^{x}$ jest rosn�ca, to wyra�enie z prawej
strony nier�wno�ci osi�ga najwi�ksz� warto�� dla $j=n$. Mamy wi�c:
$$\Delta_j\leq\frac{e^{hLn}-1}{L}\omega(h).$$
Ze wzgl�du na to, i� $h=\frac{b-a}{n}$ mo�emy napisa�:
$$\Delta_j\leq\frac{e^{(b-a)L}}{L}\omega(h).$$
Wida� teraz, �e je�li przejdziemy do granicy $h\to 0^{+}$, to wyra�enie po
prawej stronie nier�wno�ci d��y do zera (ze wzgl�du na funkcj� $\omega(h)$).
Zgodnie z twierdzeniem o trzech ci�gach, $\Delta_j$ musi wi�c te� zbiega�
do zera, bo z jednej strony ograniczone jest przez zero, a z drugiej (zgodnie
z naszym oszacowaniem) przez co� co zbiega do zera. Czyli rzeczywi�cie, je�li
liczba punkt�w podzia�u naszego odcinka ro�nie, to $h$ maleje, i b��d w ka�dym
z punkt�w maleje. Metoda Eulera jest wi�c zbie�na. \end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{R�wnania cz�stkowe -- r�wnanie ciep�a}

\section{Wprowadzenie}
W rozdziale zajmiemy si� nieco r�wnaniami cz�stkowymi. Zauwa�my, �e dotychczas
wszystko co robili�my z r�wnaniami r�niczkowymi dotyczy�o r�wna�, w kt�rych
niewiadoma by�a funkcj� jednej zmiennej (jedno, b�d� wielo wymiarow�). W r�wnaniach
o kt�rych b�dziemy m�wi� tutaj, niewiadoma, jest funkcj� wielu zmiennych i pojawiaj�
si� pochodne cz�stkowe tych�e funkcji. Na pocz�tku podamy kilka przyk�ad�w
r�wna� cz�stkowych, co pozwoli nam zapozna� si� z podstawowymi oznaczeniami
i terminami.

\subsection{Przyk�ady r�wna� cz�stkowych}

\begin{definicja}[laplasjan]
Laplasjanem funkcji $u(x_1,x_2,\ldots,x_{n})$ nazywamy:
$$\Delta u(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \frac{\partial^{2}u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^{2}u}{\partial x_2^2} + \ldots \frac{\partial^{2}u}{\partial x_n^2}.$$
\end{definicja}

\begin{uwaga}
Cz�sto mamy do czynienia z sytuacj�, gdy pierwsza zmienna funkcji, jest w jaki�
spos�b wyr�niona -- na przyk�ad oznacza czas. Wygodnie jest w�wczas zdefiniowa�
specjaln� ,,wersje'' laplasjanu dla funkcji $u(t,x_1,\ldots,x_n)$:
$$\Delta_x u(t,x_1,x_2,\ldots,x_n) = \frac{\partial^{2}u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^{2}u}{\partial x_2^2} + \ldots \frac{\partial^{2}u}{\partial x_n^2}$$
W wielu przypadkach, taki w�a�nie laplasjan b�dziemy oznacza� przez $\Delta u$.
\end{uwaga}

\begin{przyklad}[r�wnanie Laplace'a]
R�wnanie cz�stkowe mo�e mie� posta�:
$$\Delta u = 0,$$
dla $x\in\Omega$, z warunkiem: $u=\varphi$ na $\partial\Omega$ co oznacza, �e
funkcja $u$ przyjmuje warto�� $\varphi$ na $\partial\Omega$ czyli na brzegu
zbioru $\Omega$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}[r�wnanie falowe]
Innym przyk�adem r�wnania cz�stkowego, mo�e by�, stosowane w fizyce, r�wnanie
falowe:
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} - \Delta_{x}u = f.$$
\end{przyklad}

\begin{przyklad}[r�wnanie dyfuzji]
R�wnanie dyfuzji, ma posta�:
$$\frac{\partial u}{\partial t} - \Delta_{x}u = g.$$
W r�wnaniu tym funkcja $u$ oznacza temperatur� w punkcie $x=(x_1,\ldots,x_n)$
przestrzeni, w czasie $t$. R�wnanie to nazywamy r�wnie� r�wnaniem ciep�a ze �r�d�em $g$.
\end{przyklad}

\begin{przyklad}[r�wnanie ciep�a bez �r�de�]
R�wnanie ciep�a bez �r�de�, kt�rym b�dziemy si� zajmowa� dalej w tym rozdziale, to r�wnanie
postaci:
$$\frac{\partial u}{\partial t} - \Delta_x u = 0.$$
\end{przyklad}

\section{S�aba zasada maksimum.}

Podamy teraz s�ab� zasad� maksimum dla r�wnania przewodnictwa ciep�a, kt�re
musi by� dane z warunkiem brzegowo-pocz�tkowym w momencie $t=0$ -- tzn. dane
s� warto�ci funkcji na brzegu zbioru $\Omega$ dla $t=0$. Zasad� nazywamy s�ab�,
poniewa�, m�wi ona, �e warto�� maksymaln� funkcja osi�ga na danym zbiorze, jednak
nie gwarantuje, �e warto�� ta nie jest osi�gana gdzie� indziej dodatkowo. Istnieje
r�wnie� silna zasada maksimum, kt�ra gwarantuje, �e maksymalna warto�� przyjmowana
jest tylko w danym konkretnym zbiorze i nigdzie wi�cej, jednak nie mie�ci si�
ona w zakresie tego podr�cznika.

\begin{tw}[s�aba zasada maksimum dla r�wnania przewodnictwa ciep�a]
Za��my, �e $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ jest zbiorem otwartym i ograniczonym.
Za��my, �e funkcja $u$ spe�nia r�wnanie $\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_x u$,
dla $t\in[0,T]$ i $x\in\bar{\Omega}$. Niech funkcje $u,\frac{\partial u}{\partial t}, \frac{\partial u}{\partial x},
\frac{\partial^2 u}{\partial x_j\partial x_k}$ dla $j,k=1,2,\ldots,n$ s� ci�g�e
na $[0,T]\times\bar{\Omega}$. Wtedy:
$$\max_{t\in[0,T],x\in\bar{\Omega}} u(t,x) = \max_{(t,x)\in\Sigma} u(t,x),$$
gdzie $\Sigma = (\{0\}\times\Omega)\cup ([0,T]\times\partial\Omega)$.
\end{tw}

\begin{uwaga}[oznaczenia]
W tre�ci twierdzenia pojawiaj� si� nast�puj�ce oznaczenia: $\bar{\Omega}$ -- oznacza
zbi�r $\Omega$ wraz z brzegiem. Taki zbi�r $\bar{\Omega}$ nazywamy domkni�ciem
zbioru $\Omega$ (jest to zbi�r domkni�ty). Brzeg zbioru $\Omega$ oznaczamy natomiast przez
$\partial\Omega$. Przy tak przyj�tych oznaczeniach zachodzi wz�r: $\bar{\Omega} = \Omega \cup \partial\Omega$.
\end{uwaga}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Zak�adamy, �e dane jest rozwi�zanie $u$.
\item Konstruujemy now� funkcj� $v$ zale�n� od $u$.
\item Zak�adamy, �e funkcja $v$ przyjmuje warto�� maksymaln� nie na zbiorze
$\Sigma$ ale gdzie� ,,w �rodku''.
\item Dochodzimy do sprzeczno�ci z definicj� funkcji $v$.
\item Pokazujemy, �e skoro $v$ osi�ga maksimum na brzegu, to $u$ r�wnie�.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Niech $\alpha > 0$. Zdefiniujemy funkcj� $v$, kt�ra b�dzie zale�na od $u$ (kt�re
spe�nia za�o�enia twierdzenia):
$$v(t,x) = u(t,x) + \alpha ||x||^{2}.$$
Gdzie $||x||$ jest norm� euklidesow�, wi�c: $||x||^{2} = x_1^{2} + x_2^{2} + \ldots + x_n^{2}.$
Wstawiaj�c $v$ do r�wnania ciep�a, mamy:
$$\frac{\partial v}{\partial t} - \Delta v = \frac{\partial u}{\partial t} - \Delta u - \alpha\Delta||x||^{2} =$$
$$= -\alpha\Delta||x||^{2} = -\alpha 2n < 0\qquad (**)$$
W powy�szych wyliczeniach korzystamy z faktu:
$$\Delta ||x||^{2} = \Delta (x_1^{2} + x_2^{2} + \ldots + x_n^{2}) = 2 + 2 + \ldots + 2 = 2n.$$
Kt�ry wynika wprost z tego, �e $\Delta x_i^{2} = \sum_{j=1}^{n}\frac{\partial^{2} x_i^2}{\partial x_j^{2}} = \frac{\partial^{2} x_i^2}{\partial x_i^{2}} = 2$.

Oczywi�ci z definicji $v$ wynika, �e $v(t,x)\geq u(t,x)$. Niech $t_0,x_0$ b�d�
takie, �e $v(t_0,x_0)=\max_{t,x}v(t,x)$. Za��my, �e $(t_0,x_0)\not\in\Sigma$,
czyli $t_0\in (0,T], x_0\in\Omega$.

Rozwa�my teraz funkcj� $f\colon (0,T]\to\mathbb{R}$ dan� wzorem $f(t)=v(t,x_0)$.
Pochodna funkcji $f$ wyra�a si� wzorem: $f'(t)=\frac{\partial v}{\partial t}(t,x_0)$.
Skoro dla $(t_0,x_0)$ funkcja $v$ przyjmuje warto�� maksymaln�, to na pewno $f'(t_0)\geq 0$,
przy czym je�li $t_0\neq T$ to $f'(t_0)=0$ (bo funkcja $f$ przyjmuje maksimum,
czyli pochodna musi si� zerowa�), a je�li $t_0=T$ to $f'(t_0)$ mo�e r�wnie�
by� dodatnia\footnote{Mo�na sobie �atwo wyobrazi� t� sytuacj�. Funkcja $f$
jest funkcj� ci�g�� jednej zmiennej i okre�lona jest na przedziale, kt�ry jest
z jednej strony domkni�ty. Zak�adamy, ze przyjmuje ona warto�� maksymaln�, gdzie�
dla $t\in(0,T]$, czyli je�li przyjmuje j� dla $t\in(0,T)$ to jest to maksimum lokalne,
czyli pochodna si� zeruje. Je�li jednak warto�� maksymalna przyjmowana jest dla $t=T$,
to nie musi tam by� ekstremum, jednak funkcja $f$ musi by� niemalej�ca dla $t$ bliskich
$T$.} (chocia� nie musi).

Rozwa�my $n$ funkcji $g_j\colon (x_{0j}-\delta_j;x_{0j}+\delta_j) \to\mathbb{R}$
dla $j=1,2,\ldots,n$, gdzie $\delta_j$ jest pewn� ustalon� liczb�, oraz
$g_j(x) = v(t_0,x_{01},\ldots,x_{0j-1},x,x_{0j+1},\ldots,x_{0n})$. Czyli
funkcja $g_j$ powstaje z funkcji $v$ przez ,,zamro�enie'' wszystkich wsp�rz�dnych
poza $j$-t� wsp�rz�dn� $x$. Oczywi�cie zachodzi:
$$\forall_{j=1,2,\ldots,n}\quad g''_j(x) = \frac{\partial^{2}v}{\partial x_j^{2}}.$$
Mo�na udowodni�, �e
$$\forall_{j=1,2,\ldots,n}\quad g''_j(x_{0j}) \leq 0.$$
Wynika to na przyk�ad z wzoru Taylora. Mamy wi�c:
$$\forall_{j=1,2,\ldots,n}\quad \frac{\partial^{2} v}{\partial x_j^{2}} (t_0,x_{0}) \leq 0.$$
A st�d wynika, �e:
$$\frac{\partial v}{\partial t}(t_0,x_0) - \Delta v(t_0,x_0) \geq 0.$$
Zauwa�my, �e daje to jednak sprzeczno�� z definicj� funkcji $v$, a konkretnie
z linijk� oznaczon� $(**)$. St�d wniosek, i� za�o�enie $(t_0,x_0)\not\in\Sigma$
by�o niepoprawne, czyli $(t_0,x_0)\in\Sigma$.

Oznaczamy teraz $M_u:=\max_{t\in[0,T],x\in\bar{\Omega}} u(t,x)$, oraz
$N_u:=\max_{(t,x)\in\Sigma}u(t,x)$. Z powy�szych rozwa�a� wiemy, �e:
$$M_v = N_v\qquad(*).$$

Zauwa�my r�wnie�, �e je�li $\alpha\to 0^{+}$, to $v\to u$. Je�li wi�c w r�wno�ci
$(*)$ przejdziemy do granicy $\alpha\to 0^{+}$, to otrzymamy $M_u = N_u$. Czyli
funkcja $u$ osi�ga maksimum na zbiorze $\Sigma$. \end{proof}

\subsection{Wnioski}

Okazuje si�, i� ze s�abej zasady maksimum mo�emy wysnu� ciekawe (i przydatne)
wnioski.

\begin{wniosek}
R�wnanie ciep�a, z warunkiem pocz�tkowym zerowym, danym dla zbioru $\Sigma$,
ma tylko rozwi�zanie zerowe.
\end{wniosek}

\paragraph{Dow�d wniosku:}
Z twierdzenia (i z dowodu) wiemy, �e $M_u = N_u$. A skoro dany jest warunek
zerowy na $\Sigma$, to $N_u = 0$, czyli $u\leq 0$ Zauwa�my, �e funkcja $-u$ r�wnie� spe�nia
to zagadnienie, czyli $M_{-u} = N_{-u} = 0$. No ale st�d mamy $-u \leq 0$.
Musi wi�c zachodzi� $u\equiv 0$. \end{proof}

\begin{wniosek}
R�wnanie $\frac{\partial u}{\partial t} - \Delta u = f$ na $[0,T]\times\bar{\Omega}$
z warunkiem $u=\varphi$ na $\Sigma$, posiada co najwy�ej jedno rozwi�zanie.
\end{wniosek}

\paragraph{Dow�d wniosku:} Niech funkcje $u$ i $w$ spe�niaj� to zagadnienie. Niech
$z=u-w$. Wtedy:
$$\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{\partial z}{\partial t} - \Delta z = 0 & \textrm{na $[0,T]\times\bar{\Omega}$} \\
z = 0 & \textrm{na $\Sigma$}
\end{array}\right.$$
Z poprzedniego wniosku wiemy, �e wtedy musi zachodzi� $z\equiv 0$, czyli $u\equiv w$.
\end{proof}

\begin{uwaga}
Powy�sze twierdzenia nie gwarantuj� jednak istnienia rozwi�zania!
\end{uwaga}

\section{Zasada maksimum dla zbior�w nieograniczonych.}

W poprzednim podrozdziale zajmowali�my si� r�wnaniem ciep�a, kt�re okre�lone by�o
na pewnym, ograniczonym zbiorze $\Omega$. Teraz sformu�ujemy twierdzenie,
w kt�rym zbi�r ten b�dzie r�wny $\mathbb{R}^{n}$.

\begin{tw}[s�aba zasada maksimum dla r�wnania ciep�a na zbiorze nieograniczonym]
Niech $u$ spe�nia r�wnanie ciep�a, oraz niech $u$ i pochodne cz�stkowe
pierwszego i drugiego rz�du b�d� ci�g�e. Wtedy:
$$\sup_{t\in[0,T], x\in\mathbb{R}^{n}} u(t,x) = \sup_{x\in\mathbb{R}^{n}} u(0,x).$$
\end{tw}

\paragraph{Plan dowodu:}
\begin{enumerate}
\item Definiujemy funkcj� $v$ zale�n� od $u$, kt�ra te� jest rozwi�zaniem
r�wnania.
\item Zak�adamy, �e:
$$\sup_{t\in[0,T],x\in\mathbb{R}^{n}} u(t,x) = \sup_{t\in(0,T], x\in\mathbb{R}^{n}} u(t,x),$$
czyli, �e maksimum nie jest przyjmowane gdy $t=0$.
\item Korzystamy z zale�no�ci mi�dzy $u$ i $v$, oraz z poprzedniego twierdzenia.
Dzielimy dziedzin� $v$ na ,,kawa�ki''. Na jednym z kawa�k�w stosujemy s�ab� zasad�
maksimum dla zbioru ograniczonego i wykazujemy, �e za�o�enie z punktu 2 prowadzi do sprzeczno�ci.
\end{enumerate}

\begin{proof}[\textrm{\bf Dow�d}]
Zdefiniujmy now� funkcj� $v(t,x) = u(t,x) - \alpha(2nt + ||x||^{2})$, gdzie
$||.||$ jest norm� euklidesow�, oraz $\alpha >0$. Takie $v$ jest r�wnie�
rozwi�zaniem rozwa�anego r�wnania, poniewa�: $\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial t} - 2n\alpha$,
$\Delta v = \Delta u - \alpha \Delta ||x||^{2} = \Delta u - 2n\alpha$. No a st�d:
$$\frac{\partial v}{\partial t} - \Delta v = \frac{\partial u}{\partial t} - \Delta u = 0.$$

Wprowad�my oznaczenia: $M_0 = \sup_{x\in\mathbb{R}^{n}} u(0,x)$, oraz
$M = \sup_{t\in[0,T],x\in\mathbb{R}^{n}} u(t,x)$. Wiemy na pewno, �e spe�nione
jest $M_0 \leq M$. Za��my jednak, �e zachodzi $M_0 < M$. Poka�emy, �e
takie za�o�enie prowadzi do sprzeczno�ci. Skorzystamy w tym celu, z funkcji $v$.

Oszacujmy warto�� $v(t,x)$:
$$v(t,x) \leq u(t,x) - \alpha ||x||^{2} \leq M - \alpha ||x||^{2}.$$
Wyznaczmy teraz zbi�r takich $x$, �e jest spe�nione $v(t,x)\leq M_0$:
$$v(t,x) \leq M - \alpha||x||^{2} \leq M_0.$$
Nier�wno��: $M-\alpha ||x||^{2} \leq M_0$ prowadzi nas do nier�wno�ci $(*)$:
$$||x|| \geq \sqrt{\frac{M-M_0}{\alpha}}.$$

\noindent Oznaczmy teraz zbi�r $\Omega$:
$$\Omega := K\left(\Theta,\sqrt{\frac{M-M_0}{\alpha}}\right) = \left\{x\in\mathbb{R}^{n}:||x|| < \sqrt{\frac{M-M_0}{\alpha}}\right\}.$$
Zgodnie z tym co policzyli�my wcze�niej, wewn�trz $\Omega$ mo�e zachodzi� $v(t,x)>M_0$, a poza nim
$v(t,x)\leq M_0$.

Zauwa�my teraz, i� jest spe�nione na pewno:
$$\sup_{t\in [0,T], x\in\mathbb{R}^{n}} v(t,x) = \max \{
\underbrace{\sup_{t\in [0,T]; x\not\in\bar{\Omega} } v(t,x)}_{(1)};
\underbrace{\sup_{t\in [0,T]; x\in\bar{\Omega} } v(t,x)}_{(2)} \}.$$
Niech teraz:
$$\Sigma:=\{0\}\times\Omega \cup [0,T]\times\partial\Omega.$$

Z nier�wno�ci $(*)$ wynika, i� $(1)$ r�wne jest $M_0$. Aby oszacowa�
$(2)$ stosujemy s�ab� zasad� maksimum dla $v$ i $\Omega$:
$$(2) = \max_{(t,x)\in\Sigma}v(t,x).$$
No ale przy naszych oznaczeniach:
$$\max_{(t,x)\in\Sigma}v(t,x) \leq M_{0},$$
poniewa� zgodnie z definicj�, dla dowolnego $t$, na brzegu $\Omega$ funkcja $v$ przyjmuje warto��
mniejsz� b�d� r�wn� $M_0$, a dla $t=0$ r�wnie� warto�� $v$ nie mo�e by� wi�ksza
od $M_0$. Czyli na ca�ym $\Sigma$ warto�� jest co najwy�ej r�wna $M_0$. Mamy wi�c:
$$\sup_{t\in[0,T], x\in\mathbb{R}^{n}} v(t,x) \leq M_0,$$
co znaczy dok�adnie tyle, �e
$$\forall_{t\in[0,T], x\in\mathbb{R}^{n}}\quad v(t,x)\leq M_0.$$
No ale w zwi�zku z tym:
$$\forall_{t,x,\alpha} u(t,x) = v(t,x) + \alpha(2nt + ||x||^{2}) \leq $$
$$\leq M_0 + \alpha (2nt + ||x||^{2}).$$
Przechodz�c do granicy $\alpha\to 0^{+}$ otrzymujemy:
$$u(t,x)\leq M_0,$$
dla dowolnego $t\in[0,T]$ oraz $x\in\mathbb{R}^{n}$.

Doszli�my wi�c, do tego, �e $M\leq M_0$, co daje sprzeczno��.
Za�o�enie $M_0 < M$ okaza�o si� wi�c b��dne. Tym samym, wykazali�my, �e:
$$M=M_0.\qedhere$$
\end{proof}

\end{document}
%EOF
