%& --translate-file=cp1250pl

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{polski}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\prefixing

%% ustawienia strony
%\pagestyle{empty}
\addtolength{\voffset}{-2cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textheight}{2cm}
\addtolength{\textwidth}{3cm}


\title{Zagadnienia z algebry - �wiczenia}
\author{Witold Bo�t}

%% here we go.
\begin{document}
\maketitle
\section{Wst�p}
Przed ka�dym kolokwium z algebry wypisywa�em sobie rzeczy kt�re powinienem
umie� - nie wiem czy uda�o mi si� zawrze� tutaj ca�� wiedz� jaka by�a, ale my�le,
�e najwa�niejsze rzeczy s�. Tak�e jak kto� umie wi�kszo�� tego co tu jest,
to ju� jest raczej dobrze. 

\section{Semestr II}
Narazie tylko jest semestr drugi. Z pierwszego musz� zebra� notatki i mo�e wtedy
uzupe�nie. Tak czy siak, wydaje si�, �e drugi semestr jest wa�niejszy - chocia�by
dlatego, �e �wicze� wtedy by�o wi�cej.

\subsection{Kolokwium I}
Tu niestety mam nieco cz�stkowe notatki, wi�c pewnie dopisze co� wi�cej p�niej.
\begin{enumerate}
\item Czy dane przekszta�cenie jest liniowe.
\item Zapisz przekszta�cenie w nowej bazie.
\item Rozwi�� uk�ad r�wna�.
\item Zbadaj wymiar j�dra // obrazu przekszta�cenia.
\item Czy przekszta�cenie jest izomorficzne?
\item Wyznaczy� wymiar przestrzeni, sumy prostej przestrzeni, cz�ci wsp�lnej...
\item Uk�ady r�wna� modulo p.
\item Uk�ady r�wna� z paramterem (kiedy jest niesko�czenie wiele rozwi�za�, kiedy jest jedno, kiedy nie ma wcale)?
\item Kiedy uk�ad wektor�w jest niezale�ny liniowo - w zale�no�ci o parametru.
\end{enumerate}

\subsection{Kolokwium II}
\begin{enumerate}
\item Sprawd� czy forma jest dwuliniowa.
\item Napisz macierz formy.
\item Napisz macierz formy w innej bazie (zamiana bazy).
\item Napisa� macierz z�o�enia formy z przekszta�ceniem liniowym - na przyk�ad: $f(\phi (x),\psi (y))$.
\item Sprowadzi� form� do postaci kanonicznej metod� Lagrange'a lub Jacobiego.
\item Czy dane przekszta�cenie mo�e mie� dan� macierz w jakiej� bazie?
\item Znale�� warto�ci i wektory w�asne przekszta�cenia liniowego.
\item Znale�� przestrzenie niezmiennicze wzgl�dem $\phi$.
\item Udowodni� �e dana przestrze� jest niezmiennicza.
\item Czy forma jest dodtani // ujemnie okre�lona?
\item Czy dwie formy s� r�wnowa�ne?
\item Oblicz warto�� formy korzystaj� z postaci macierzowych (mno�enie macierzy).
\end{enumerate}

\subsection{Kolokwium III}
\begin{enumerate}
\item Napisz r�wnanie prostej (p�aszczyzny) r�wnoleg�ej (prostopad�ej) do
wektora (b�d� prostej lub p�aszczyzny) i//lub przechodz�cej przez dany punkt (punkty).
\item Sprawd� czy punkty s� wsp�liniowe, czy nale�� do jednej p�aszczyny.
\item Obliczy� obj�to�� figury ograniczonej p�aszczyzn� i osiami uk�adu wsp�rz�dnych.
\item Zbada� wzajemne po�o�enie prostych // p�aszczyzn.
\item Obliczy� odleg�o�� punktu od prostej.
\item Skonstruowa� baz� ortogonaln� przestrzeni liniowej.
\item Wyznaczy� baz� dope�nienia ortogonalnego.
\item Wykaza�, �e dana forma jest iloczynem skalarnym.
\item Udowodni� tw. Pitagorasa.
\item Znale�� rzut wektora na podprzestrze�.
\item Wykaza�, �e dane przekszta�cenie jest ortogonalne.
\item Wykaza�, �e je�li $A\cdot A^{T}$ to $det A=\pm 1$. (albo na odwr�t)
\item Wykaza�, �e dowolne przekszta�cenie ortogonalne w�a�ciwe (niew�a�ciwe)
to obr�t (symetria).
\item Wykaza�: $<\!\phi (x),y\!> = <\!x,\phi (y)\!>$, gdzie $\phi$ dane jest macierz�
$M_{\phi} = \left[ \begin{array}{cc} a&b \\ b&c \end{array} \right]$ w bazie
ortonormalnej.
\item Narysuj zbi�r spe�niaj�cy r�wnanie. Sprowad� r�wnanie do postaci kanonicznej
przez obr�t i translacje.
\end{enumerate}


\end{document}
